Derivabilità delle funzioni composte
Avrei una domanda:
Se io ho una funzione del tipo:
$f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ e voglio sapere dove risulta derivabile, anzichè imbarcarmi alla ricerca del limite della derivata, posso fare il seguente ragionamento ?
La funzione è definita e continua su tutto $\mathbb{R}$ e risulta composta dalla funzione $e^x$ che è derivabile su tutto $\mathbb{R}$, dalla funzione $\ln^{2} x$ che è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e dalla funzione $|x|$ che è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Allora $f(x)$ è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$.
Spero che la domanda si capisca
Se io ho una funzione del tipo:
$f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ e voglio sapere dove risulta derivabile, anzichè imbarcarmi alla ricerca del limite della derivata, posso fare il seguente ragionamento ?
La funzione è definita e continua su tutto $\mathbb{R}$ e risulta composta dalla funzione $e^x$ che è derivabile su tutto $\mathbb{R}$, dalla funzione $\ln^{2} x$ che è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e dalla funzione $|x|$ che è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Allora $f(x)$ è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$.
Spero che la domanda si capisca
Risposte
"Orlok":
[...] la funzione $\ln^{2} x$ che è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ [...]
, purtroppo ciò che affermi è scorretto. Quella funzione non è definita per $x<=0$.
Allora risulterebbe derivabile su $\mathbb{R}_{+}$???
Allora, ricapitolando....
$e^x$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ mentre $\ln x$ è derivabile su $\mathbb{R}_+$ ma c'è anche $|x|$ che ha $\cod |x|\ge 0$ ed è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$.
Presumo allora che $f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ sia derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Che ne dite?
$e^x$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ mentre $\ln x$ è derivabile su $\mathbb{R}_+$ ma c'è anche $|x|$ che ha $\cod |x|\ge 0$ ed è derivabile su $\mathbb{R}-{0}$.
Presumo allora che $f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ sia derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Che ne dite?
Forse sono arrivato ad una conclusione:
la funzione $f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ è definita e continua su $RR-{0}$ ed ivi derivabile. Giusto?
la funzione $f(x)=e^{-\ln^2 |x|}$ è definita e continua su $RR-{0}$ ed ivi derivabile. Giusto?
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