Derivabilità della somma di una serie di funzioni
Tutto parte dalla seguente serie:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{3}}\)
L' esercizio chiede di verificare la convergenza. Io giustifico la convergenza (ovunque) tramite questa maggiorazione:
\( \displaystyle \frac{1}{2}\frac{x}{n^{2}}<\frac{\sin(nx)}{n^{3}}<\frac{3}{2}\frac{x}{n^{2}}\).
Il passo successivo chiede di dire se la seguente affermazione è vera o falsa: "La somma della serie è derivabile su \( ]-\infty,\infty[\)"
Qui nasce il problema. Sulle dispense ho trovato questo teorema:
" Se la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)\) converge puntualmente alla sua somma su \( ]a,b[\) e se ogni \( f_{n}(x)\) è derivabile allora \( \displaystyle \frac{d}{dx}S(x)=G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}^{'}(x)\)"
Mi chiedevo se tale teorema è valido (non ne sono sicuro). Usando questo teorema potrei dire che la frase sopra è vera.
Sperando che mi possiate aiutare a capire cosa c' è di sbagliato in quello che ho scritto, vi ringrazio a priori.
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{3}}\)
L' esercizio chiede di verificare la convergenza. Io giustifico la convergenza (ovunque) tramite questa maggiorazione:
\( \displaystyle \frac{1}{2}\frac{x}{n^{2}}<\frac{\sin(nx)}{n^{3}}<\frac{3}{2}\frac{x}{n^{2}}\).
Il passo successivo chiede di dire se la seguente affermazione è vera o falsa: "La somma della serie è derivabile su \( ]-\infty,\infty[\)"
Qui nasce il problema. Sulle dispense ho trovato questo teorema:
" Se la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)\) converge puntualmente alla sua somma su \( ]a,b[\) e se ogni \( f_{n}(x)\) è derivabile allora \( \displaystyle \frac{d}{dx}S(x)=G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}^{'}(x)\)"
Mi chiedevo se tale teorema è valido (non ne sono sicuro). Usando questo teorema potrei dire che la frase sopra è vera.
Sperando che mi possiate aiutare a capire cosa c' è di sbagliato in quello che ho scritto, vi ringrazio a priori.
Risposte
Siccome \( |\frac{sin(nx)}{n^3}|\leq \frac{1}{n^3}\) e la serie numerica \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\) converge, si deduce che
la serie di funzioni \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n^3}\) è totalmente convergete e quindi anche
assolutamente e uniformemente convergente.
Nel teorema che hai enunciato dimentichi di l'ipotesi che la serie delle funzioni derivate deve essere uniformemente convergente.
Nel nostro caso la serie derivata è \( \sum_{n=1}^{\infty}x\frac{cos(nx)}{n^2}\) e siccome \( |x\frac{cos(nx)}{n^2}|\leq \frac{|x|}{n^2}\) la serie derivata è totalmente convergente, quindi anche uniformemente convergente, su ogni intervallo limitato; pertanto la derivazione termine a termine è lecita in virtù del teorema citato.
la serie di funzioni \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n^3}\) è totalmente convergete e quindi anche
assolutamente e uniformemente convergente.
Nel teorema che hai enunciato dimentichi di l'ipotesi che la serie delle funzioni derivate deve essere uniformemente convergente.
Nel nostro caso la serie derivata è \( \sum_{n=1}^{\infty}x\frac{cos(nx)}{n^2}\) e siccome \( |x\frac{cos(nx)}{n^2}|\leq \frac{|x|}{n^2}\) la serie derivata è totalmente convergente, quindi anche uniformemente convergente, su ogni intervallo limitato; pertanto la derivazione termine a termine è lecita in virtù del teorema citato.
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