Derivabilità della funzione integrale e retta tangente
Ciao ragazzi,
vi propongo un esercizio di analisi sul quale ho delle perplessità. Ecco la traccia:
Studiare la derivabilità della funzione
$F(x) = sin(logx -1) \int_{1}^{x^2} e^(-t)dt
e scrivere l'equazione della retta tangente in $x0=1$.
Adesso dal momento che F(x) è derivabile dove l'integranda è continua, abbiamo che $e^(-t)$ ha come dominio $RR$. Dal momento che l'estremo inferiore del dominio di integrazione che consideriamo è un numero intero positivo, deve essere $x^2 in (1, +\infty)$ e da qui abbiamo che $x<-1$ e $x>1$. Credete che sia un ragionamento corretto o devo considerare anche il dominio della costante che compare fuori dall'integrale, $sin(logx-1)$ perchè in questo caso occorrerebbe che sia $x>0$ anche se considereremmo lo stesso intervallo credo. Per quanto riguarda la retta tangente io pensavo di calcolarmi la derivata e sfruttare la formula:
$y = y0 + D(f(x0))(x-x0)$
vi propongo un esercizio di analisi sul quale ho delle perplessità. Ecco la traccia:
Studiare la derivabilità della funzione
$F(x) = sin(logx -1) \int_{1}^{x^2} e^(-t)dt
e scrivere l'equazione della retta tangente in $x0=1$.
Adesso dal momento che F(x) è derivabile dove l'integranda è continua, abbiamo che $e^(-t)$ ha come dominio $RR$. Dal momento che l'estremo inferiore del dominio di integrazione che consideriamo è un numero intero positivo, deve essere $x^2 in (1, +\infty)$ e da qui abbiamo che $x<-1$ e $x>1$. Credete che sia un ragionamento corretto o devo considerare anche il dominio della costante che compare fuori dall'integrale, $sin(logx-1)$ perchè in questo caso occorrerebbe che sia $x>0$ anche se considereremmo lo stesso intervallo credo. Per quanto riguarda la retta tangente io pensavo di calcolarmi la derivata e sfruttare la formula:
$y = y0 + D(f(x0))(x-x0)$
Risposte
Ragazzi nessuno mi può dare una mano ?
$F(x)$ non è derivabile dove l'integranda è continua! Ci sono altri "pezzi" di funzione da considerare.
Ma non mi sembra nemmeno un dramma integrare esplicitamente $e^(-t)$, quella funzione in realtà è $F(x)= sin(logx-1) (e^(-1)-e^(-x^2))$, che ovviamente è derivabile su $(0,+oo)$.
E non ho ben capito perchè hai deciso che dal momento che l'estremo di integrazione fisso è $1$ allora $x>1$, semplicemente la funzione integrale sarà negativa in $(0,1)$. Potevi sbrigartela più velocemente dicendo che $F(x)$ è "fatta" di funzioni derivabili sul loro dominio e quindi, anche senza scriverla esplicitamente come ho fatto io, dire che $sin(logx-1)$ (che non è affatto una costante, stai attento a quello che dici!) è derivabile su $(0,+oo)$ e lo stesso la funzione integrale, in quanto l'integranda è continua e l'estremo di integrazione variabile è derivabile (il teorema che ti dice che se l'integranda è continua in un punto allora la funzione integrale è derivabile in quel punto vale solo se consideri funzioni del tipo $G(x)=int_(a)^(x) g(t)dt$, capito la differenza? come esempio prendi $G(x)=int_(1)^(sqrt(x)) e^(-t)dt$ e prova un po' a vedere se è derivabile, da destra, nell'origine).
Per la retta tangente direi proprio di sì, se sai calcolare la derivata non dovresti avere problemi.
Ma non mi sembra nemmeno un dramma integrare esplicitamente $e^(-t)$, quella funzione in realtà è $F(x)= sin(logx-1) (e^(-1)-e^(-x^2))$, che ovviamente è derivabile su $(0,+oo)$.
E non ho ben capito perchè hai deciso che dal momento che l'estremo di integrazione fisso è $1$ allora $x>1$, semplicemente la funzione integrale sarà negativa in $(0,1)$. Potevi sbrigartela più velocemente dicendo che $F(x)$ è "fatta" di funzioni derivabili sul loro dominio e quindi, anche senza scriverla esplicitamente come ho fatto io, dire che $sin(logx-1)$ (che non è affatto una costante, stai attento a quello che dici!) è derivabile su $(0,+oo)$ e lo stesso la funzione integrale, in quanto l'integranda è continua e l'estremo di integrazione variabile è derivabile (il teorema che ti dice che se l'integranda è continua in un punto allora la funzione integrale è derivabile in quel punto vale solo se consideri funzioni del tipo $G(x)=int_(a)^(x) g(t)dt$, capito la differenza? come esempio prendi $G(x)=int_(1)^(sqrt(x)) e^(-t)dt$ e prova un po' a vedere se è derivabile, da destra, nell'origine).
Per la retta tangente direi proprio di sì, se sai calcolare la derivata non dovresti avere problemi.
Sì in effetti sul fatto che $sin(logx-1)$ sia una costante è stata una boiata pazzesca e chiedo umilmente scusa 
Ho capito allora che quando abbiamo una funzione del genere sarebbe più indicato risolvere l'integrale e che funzioni di questo tipo sono ben diverse dalle 'semplici' funzioni integrali che non presentano un elemento con la variabile fuori dall'integrale stesso. Ad esempio avendo una funzione integrale del tipo:
$G(x) = \int_(3)^(x^2) log(t^2 - 2t)dt$
in questo caso possiamo sfruttare il teorema che ho prima enunciato, senza dover risolvere l'integrale. In questo caso io risolvo in questo modo:
- mi calcolo il dominio (in questo caso deve essere $t^2-2t >0$ ovvero $t<0$ e $t>2$ in pratica l'intervallo $(-oo,0) U (2,+oo)$
- notiamo che $3 in (2, +oo)$ e pertanto consideriamo l'intervallo $(2,+oo)$
- ora poniamo $2sqrt(2)$
Inoltre la derivata prima della funzione è:
$G'(x)=g[f(x)]⋅f'(x)$ dove f(x) è appunto $x^2$.
Ragazzi che ne pensate ? Ho commesso degli errori ?
Ho capito allora che quando abbiamo una funzione del genere sarebbe più indicato risolvere l'integrale e che funzioni di questo tipo sono ben diverse dalle 'semplici' funzioni integrali che non presentano un elemento con la variabile fuori dall'integrale stesso. Ad esempio avendo una funzione integrale del tipo:
$G(x) = \int_(3)^(x^2) log(t^2 - 2t)dt$
in questo caso possiamo sfruttare il teorema che ho prima enunciato, senza dover risolvere l'integrale. In questo caso io risolvo in questo modo:
- mi calcolo il dominio (in questo caso deve essere $t^2-2t >0$ ovvero $t<0$ e $t>2$ in pratica l'intervallo $(-oo,0) U (2,+oo)$
- notiamo che $3 in (2, +oo)$ e pertanto consideriamo l'intervallo $(2,+oo)$
- ora poniamo $2
Inoltre la derivata prima della funzione è:
$G'(x)=g[f(x)]⋅f'(x)$ dove f(x) è appunto $x^2$.
Ragazzi che ne pensate ? Ho commesso degli errori ?
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