Derivabilità della funzione integrale

[Knuckles1]

come si fa a trovare l'insieme di derivabilità delle funzioni intrali?

Ad esempio se ho $F(x):=\int_{0}^{x} dt/root(3)(t^3+1)$ come si fa?

[parme1]

mi pare che ci sia una guida apposta..e cmq ricorda la teoria degli integrali impropri,no?ad esempio,il denominatore deve essere diverso da 0..e così via

[Knuckles1]

si ma in questo caso specifico?

[gugo82]

Se ricordi il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale questo esercizio non presenta particolari difficoltà...

[Knuckles1]

F'(x)=G(t).... di conseguenza studio i limiti di G(t) a -1 da destra e da sinistra e mi vanno ad infinito di ordine 1/3<1 quindi dovrebbe essere derivabile anche in -1.... giusto?

ora per vedere la concavità e la convessita devo studiare il segno di G'(t)?

[gugo82]

Per provare la derivabilità in $-1$ devi guardare quanto "vengono" i limiti a destra e sinistra di $-1$ della funzione integranda, non il loro ordine d'infinitesimo; se i limiti vengono uguali e finiti, allora derivabile; altrimenti no.

Per studiare la convessità della funzione integrale puoi studiare il segno della derivata prima dell'integrando.

[Knuckles1]

ok ma in -1 vanno a infinito di ordine di ordine 1/3... viene tipo una cuspide... quindi li non è derivabile?

[gugo82]

No.

Infatti la derivata prima $1/root(3)(x^3+1)$ tende a $-oo$ a sinistra di $-1$ ed a $+oo$ a destra di $-1$, quindi la funzione integrale presenta un punto cuspidale in $-1$.

[Knuckles1]

ok...quindi è derivabile solo se è un numero finito e sono uguali... ok grazie

[gugo82]

"Knuckles":ok...quindi è derivabile solo se è un numero finito e sono uguali...

Questa definizione vale per ogni funzione reale, quindi perchè stupirsi?

[Knuckles1]

ancora una cosa... se io ho $F(x):=\int_{0}^{x} dt/root(4)(t-1)^4$ quando studio la concavità e la convessità mi viene che è sepre concava... ma dallo studio dei limiti e dell'integranda mi viene come grafico, una curva simile all'esponenziale per dire, che a meno inf va a meno inf e a 1 va a più inf e il suo dominio è meno inf, 1.... come è possibile?