Derivabilità al variare del parametro
Testo:
Al variare di $ alpha,beta>=0 $ si studi la derivabilità della seguente funzione $f: RR rightarrow RR$, calcolandone la derivata ove possibile, e stabilendo se la derivata è continua in un intorno dell'origine.
$ f_{alpha,beta}{ ( x^alphasen^beta(1/x), x!=0 ),(0, x=0 ):} $
SOL.:
La continuità è soddisfatta per $alpha,beta >=0$.
Studio la derivabilità in $x_0=0 $ applicando la definizione di derivata:
$ lim_(h -> 0) f(h)/h= (h^alphasen^beta(1/h))/h=h^{alpha-1}sen^beta(1/h) $.
Tale limite esiste finito se $alpha>1, beta>=0$ e vale $0$, quindi $f$ è derivabile in $0$.
Il testo dice poi di calcolarne la derivata ove possibile. Calcolo quindi esplicitamente la derivata per $x!=0$.
Quindi, sotto la condizione $alpha>1, beta>=0$ si ha $ f'(x)=alphax^(alpha-1)sen^beta(1/x) + (- x^alpha*betasen^{beta-1}(1/x)cos(1/x))/(x^2) $ e in un intorno di 0 la derivata vale 0.
Quindi la derivata è continua in un intorno dell'origine.
Può essere corretto?
Perchè c'è qualcosa che non mi torna... per esempio penso che ci siano dei valori dei parametri che magari non ho discusso e soprattutto mi pare strano che tale funzione abbia la derivata continua nell'intorno dell'origine. Infatti in una funzione molto simile discussa in aula avevamo mostrato che la derivata in $0$ esisteva mentre nell'intorno dell'origine cambiava di segno infinite volte.
Al variare di $ alpha,beta>=0 $ si studi la derivabilità della seguente funzione $f: RR rightarrow RR$, calcolandone la derivata ove possibile, e stabilendo se la derivata è continua in un intorno dell'origine.
$ f_{alpha,beta}{ ( x^alphasen^beta(1/x), x!=0 ),(0, x=0 ):} $
SOL.:
La continuità è soddisfatta per $alpha,beta >=0$.
Studio la derivabilità in $x_0=0 $ applicando la definizione di derivata:
$ lim_(h -> 0) f(h)/h= (h^alphasen^beta(1/h))/h=h^{alpha-1}sen^beta(1/h) $.
Tale limite esiste finito se $alpha>1, beta>=0$ e vale $0$, quindi $f$ è derivabile in $0$.
Il testo dice poi di calcolarne la derivata ove possibile. Calcolo quindi esplicitamente la derivata per $x!=0$.
Quindi, sotto la condizione $alpha>1, beta>=0$ si ha $ f'(x)=alphax^(alpha-1)sen^beta(1/x) + (- x^alpha*betasen^{beta-1}(1/x)cos(1/x))/(x^2) $ e in un intorno di 0 la derivata vale 0.
Quindi la derivata è continua in un intorno dell'origine.
Può essere corretto?
Perchè c'è qualcosa che non mi torna... per esempio penso che ci siano dei valori dei parametri che magari non ho discusso e soprattutto mi pare strano che tale funzione abbia la derivata continua nell'intorno dell'origine. Infatti in una funzione molto simile discussa in aula avevamo mostrato che la derivata in $0$ esisteva mentre nell'intorno dell'origine cambiava di segno infinite volte.
Risposte
"feddy":
... in una funzione molto simile discussa in aula avevamo mostrato che ...
Probabilmente si trattava della seguente:
$[f(x)=x^2sin(1/x)]$
Infatti:
$[f'(0)=lim_(h->0)hsin(1/h)=0]$
Tuttavia:
$[f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)] ^^ [not EE lim_(x->0)f'(x)]$
Insomma, almeno per $[\alpha=2] ^^ [\beta=1]$, la funzione è derivabile anche nell'origine con derivata non continua.
"feddy":
... che la derivata in $0$ esisteva mentre nell'intorno dell'origine cambiava di segno infinite volte.
Non è sufficiente che cambi di segno infinite volte per concludere che non è continua, potrebbe comunque tendere a zero.
Esatto la funzione era la stessa, salvo il fatto che l'argomento del seno era $1/x^2$.
Quindi posso dire che per $alpha>1, beta>=0$ la funzione è derivabile, come scritto nella mia proposta di soluzione?
Perché non vedo altre strade se non usare il rapporto incrementale..
Quindi posso dire che per $alpha>1, beta>=0$ la funzione è derivabile, come scritto nella mia proposta di soluzione?
Perché non vedo altre strade se non usare il rapporto incrementale..
Immagino che $\alpha$ e $\beta$ siano comunque interi.
Nel testo non è specificato... ad ogni modo, per esempio, se $alpha=-1$, allora il limite del rapporto incrementale non esiste finito, pertanto non è derivabile in $x_0=0$.
Un altro dubbio che mi assale è la richiesta: ", calcolandone la derivata ove possibile".
Io l'ho calcolata per $x_0!=0$, tenendo però conto delle condizioni sui due parametri.
Che dici?
Un altro dubbio che mi assale è la richiesta: ", calcolandone la derivata ove possibile".
Io l'ho calcolata per $x_0!=0$, tenendo però conto delle condizioni sui due parametri.
Che dici?
Veramente, per non complicare troppo il campo di esistenza, intendevo considerare solo i valori dei parametri interi strettamente positivi. Basti pensare al caso in cui $[\beta=1/2]$. Inoltre, se $[\alpha=0] ^^ [\betane0]$, la funzione non è nemmeno continua. Ad ogni modo, riscrivendo la derivata opportunamente:
$f'(x)=x^(\alpha-2)sin^(\beta-1)(1/x)[\alphaxsin(1/x)-\betacos(1/x)]$
essa risulta continua se $[\alphagt2] ^^ [\betagt0]$.
Intanto, la funzione è senz'altro derivabile per $[xne0]$. Inoltre, eseguendo il limite del rapporto incrementale di punto iniziale $[x=0]$, è possibile studiare la derivabilità anche per $[x=0]$. Infine, calcolando il limite per $[xrarr0]$ della derivata ottenuta con le regole usuali, è possibile studiare la continuità della derivata per $[x=0]$.
$f'(x)=x^(\alpha-2)sin^(\beta-1)(1/x)[\alphaxsin(1/x)-\betacos(1/x)]$
essa risulta continua se $[\alphagt2] ^^ [\betagt0]$.
"feddy":
Un altro dubbio che mi assale ...
Intanto, la funzione è senz'altro derivabile per $[xne0]$. Inoltre, eseguendo il limite del rapporto incrementale di punto iniziale $[x=0]$, è possibile studiare la derivabilità anche per $[x=0]$. Infine, calcolando il limite per $[xrarr0]$ della derivata ottenuta con le regole usuali, è possibile studiare la continuità della derivata per $[x=0]$.
Grazie mille per la risposta, veramente ! 
Provo a fare un breve riepilogo...
Per $x!=0$ tale funzione è sicuramente derivabile, con derivata data dalle regole usuali di derivazione.
In $x=0$ la funzione è derivabile se $alpha>1$ e $beta>=0$.
[ci terrei ad avere conferma di questi due valori. Li ho ottenuti andando a considerare il limite del rapporto incrementale ]
La derivata risulta continua nell'origine se, facendo il limite per $x rightarrow 0$ di $f'(x)$ si ha che questo esiste e vale 0.
Questo sussiste per $alpha>2 $ e $beta>0$.
Provo a fare un breve riepilogo...
Per $x!=0$ tale funzione è sicuramente derivabile, con derivata data dalle regole usuali di derivazione.
In $x=0$ la funzione è derivabile se $alpha>1$ e $beta>=0$.
[ci terrei ad avere conferma di questi due valori. Li ho ottenuti andando a considerare il limite del rapporto incrementale ]
La derivata risulta continua nell'origine se, facendo il limite per $x rightarrow 0$ di $f'(x)$ si ha che questo esiste e vale 0.
Questo sussiste per $alpha>2 $ e $beta>0$.
Ok. Volendo, invece di calcolare subito il limite del rapporto incrementale, si può calcolare prima il limite della derivata, ottenuta con le regole usuali, nella speranza che esista, finito oppure infinito, e avvalersi del seguente teorema:
Insomma:
Caso 1. Se il limite esiste finito, la funzione è derivabile e non è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Caso 2. Se il limite esiste infinito, la funzione non è derivabile e non è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Caso 3. Se il limite non esiste, nulla si può dire e per concludere è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Insomma:
Caso 1. Se il limite esiste finito, la funzione è derivabile e non è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Caso 2. Se il limite esiste infinito, la funzione non è derivabile e non è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Caso 3. Se il limite non esiste, nulla si può dire e per concludere è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale.
Caspita, il mio riepilogo è dunque corretto ?
Oh, grazie mille per questo corollario, non lo abbiamo affrontato, molto utile però ! Se l'avessi saputo prima mi avrebbe risparmiato un po' di strada
Oh, grazie mille per questo corollario, non lo abbiamo affrontato, molto utile però ! Se l'avessi saputo prima mi avrebbe risparmiato un po' di strada
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo