Derivabilità
Salve a tuti....mi aiutate con questo esercizio?
Studiare la derivabilità in $RR$ della funzione $g(x) = x^2 + 2x - 1 + (x sen x + x^2)/(1+sqrt(|x|))$
Disegnandola su un programma, mi esce che la funzione è sempre derivabile.
Io avevo pensato di dimostrarlo verificando se i singoli "pezzi" della funzione fossero derivabili. Mi spiego meglio:
$x^2, 2x, -1$ sono derivabili sempre...ora verifico anche $(x sen x + x^2)/(1+sqrt(|x|))$ e se anche quest'ultimo pezzo è derivabile allora posso dire che $g(x)$ è derivabile?
Il punto è che ci ho provato e mi viene non derivabile in $x=0$. Quindi sicuramente è errato il metodo...vi ringrazio per l'aiuto!
Studiare la derivabilità in $RR$ della funzione $g(x) = x^2 + 2x - 1 + (x sen x + x^2)/(1+sqrt(|x|))$
Disegnandola su un programma, mi esce che la funzione è sempre derivabile.
Io avevo pensato di dimostrarlo verificando se i singoli "pezzi" della funzione fossero derivabili. Mi spiego meglio:
$x^2, 2x, -1$ sono derivabili sempre...ora verifico anche $(x sen x + x^2)/(1+sqrt(|x|))$ e se anche quest'ultimo pezzo è derivabile allora posso dire che $g(x)$ è derivabile?
Il punto è che ci ho provato e mi viene non derivabile in $x=0$. Quindi sicuramente è errato il metodo...vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Si penso anche io che se $g(x)=f(x)+h(x)$ ed $f(x)$ derivabile su tutto $RR$, allora la derivabilità dipende solo da $h(x)$..
Vedendo il dominio della nostra $h(x)$ e calcolando la derivata prima penso che essa sia definita come:
$D(h(x))={(D((xsin(x)+x^2)/(1+sqrt(x))),if x>=0), (D((xsin(x)+x^2)/(1+sqrt(-x))),if x<0):}$
Quindi bisogna vedere se i limiti del rapporto incrementale per $x->0^-$ ed $x->0^+$ sono uguali per definire se $h(x)$ è derivabile o meno in 0.. o almeno questo è quello che ho pensato io
Vedendo il dominio della nostra $h(x)$ e calcolando la derivata prima penso che essa sia definita come:
$D(h(x))={(D((xsin(x)+x^2)/(1+sqrt(x))),if x>=0), (D((xsin(x)+x^2)/(1+sqrt(-x))),if x<0):}$
Quindi bisogna vedere se i limiti del rapporto incrementale per $x->0^-$ ed $x->0^+$ sono uguali per definire se $h(x)$ è derivabile o meno in 0.. o almeno questo è quello che ho pensato io
"Obidream":
se i limiti del rapporto incrementale per $x->0^-$ ed $x->0^+$ sono uguali per definire se $h(x)$ è derivabile o meno in 0.. o almeno questo è quello che ho pensato io
Perché usi il verbo "definire"? E' sbagliato. Tu vuoi "stabilire", o vuoi "verificare" se la funzione è derivabile o meno in $0$. Non usare parole a vanvera.
A parte questo il discorso è corretto.
Grazie per la correzione, purtroppo il lessico da matematico ancora non mi appartiene 
( si vede lontano un miglio che faccio ingegneria )
( si vede lontano un miglio che faccio ingegneria )
Veramente, l'errore nell'usare il termine "definire" piuttosto che quelli corretti suggeriti da dissonance è più un errore di italiano, sai? Prescinde il "lessico da matematico"!
"ciampax":
Veramente, l'errore nell'usare il termine "definire" piuttosto che quelli corretti suggeriti da dissonance è più un errore di italiano, sai? Prescinde il "lessico da matematico"!
rientra nelle caratteristiche di un ingegnere
Ciao, io per stabilire la derivabilità di una funzione, dapprima la derivo. Poi guardo la derivata, e vedo dove essa è definita o meno. così puoi verificare direttamente la derivibilità di una funzione: è un metodo sicuramente meno brillante, ma pur sempre utile in caso di mancanza di pulsioni intuitive 
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