Derivabilità

[Hajra]

Dire se la funzione

[math]f(x)= (x-1)^\frac{1}{3}[/math]

è continua e derivabile nel punto x=1.


Continuità:

[math]lim_{x \rightarrow 1^+} (1^+ - 1)^\frac{1}{3} = (0^+)^\frac{1}{3}= 0
\\ lim_{x \rightarrow 1^-} (1^- - 1)^\frac{1}{3} = (0^-)^\frac{1}{3}= 0
\\ f(1)= (1-1)^\frac{1}{3} = 0[/math]

allora la funzione è continua ne punto x=1.

Derivabilità:

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
\\ lim_{h\rightarrow 0}\frac{[(x+h)-1]^\frac{1}{3}-(x-1)^\frac{1}{3}}{h}
\\ lim_{h\rightarrow 0}\frac{[1+h-1]^\frac{1}{3}}{h}
\\ lim_{h\rightarrow 0}\frac{(h)^\frac{1}{3}}{h}[/math]

allora questa volta non ho il valore assoluto e come mi hai detto non posso usare il metodo de l'hopital come faccio andare avanti?????

[ciampax]

Proprietà delle potenze: dovresti sapere che

[math]a^n/a^m=a^{n-m}[/math]

. Pertanto il tuo limite diventa

[math]\lim_{h\to 0^\pm} h^{-2/3}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{1}{h^{2/3}}=+\infty[/math]

pertanto la funzione non è derivabile.