Derivabilità
Ciao,
mi è appena sorto un dubbio sullo studio della dervabilità di un punto oppure no,
è la stessa cosa vedere se esiste il limite del rapporto incrementale o della derivata prima ? Io credo di si!
un'altra domanda,
perchè devo prima uguagliare a zero la derivata prima e poi studiarne il segno ? Non posso studiarne direttamente il segno ?
mi è appena sorto un dubbio sullo studio della dervabilità di un punto oppure no,
è la stessa cosa vedere se esiste il limite del rapporto incrementale o della derivata prima ? Io credo di si!
un'altra domanda,
perchè devo prima uguagliare a zero la derivata prima e poi studiarne il segno ? Non posso studiarne direttamente il segno ?
Risposte
La derivata E' il limite del rapporto incrementale calcolato in quel punto. Comunque non si deriva un punto, ma si deriva una funzione in un punto. 
Puoi studiarne direttamente il segno, perchè nel momento in cui risolvi la disequazione $f'(x)>=0 $ risolvi contemporaneamente l'equazione $f'(x)=0$.
Puoi studiarne direttamente il segno, perchè nel momento in cui risolvi la disequazione $f'(x)>=0 $ risolvi contemporaneamente l'equazione $f'(x)=0$.
La derivata va azzerata per trovare i punti estremanti, che non sempre si possono trovare con lo studio del segno. Ad esempio se $f'(x)=\frac{1}{x}$, questa è positiva per $x>0$, negativa per $x<0$, ma non è che in zero c'è un minimo, anzi...
Anche studiando il segno vedrai che la derivata prima non si azzera mai, Tipper. Scusa, se risolvo $f'(x) >= 0$ ho sempre e comunque informazioni in più che risolvendo $f'(x)=0$, perchè studiare il segno di $f'(x)$ è utile per la crescenza e la decrescenza di $f(x)$.
Per tornare al tuo esempio, se $f'(x)=1/x$, la soluzione di $1/x >= 0$ è appunto $x>0$, e non $x >=0$, quindi la derivata non si annulla mai.
"elgiovo":
Anche studiando il segno vedrai che la derivata prima non si azzera mai, Tipper. Scusa, se risolvo $f'(x) >= 0$ ho sempre e comunque informazioni in più che risolvendo $f'(x)=0$, perchè studiare il segno di $f'(x)$ è utile per la crescenza e la decrescenza di $f(x)$.
Quando ho rispoto io ancora non avevo visto il tuo reply.
Anche a me succede spessissimo.... 
Grazie per le risposte,
quindi studiando quando $f'(x) >= 0$ trovo immediatamente eventuali zeri della funzione derivata prima e
ne studio anche il segno
adesso sto cercando di determinare gli intervalli di monotonia di questa funzione $2^x - 5^x$, ma ho un po di confusione
la derivata prima è $2^x*ln2 - 5^x*ln5$, e dopo risolvo $2^x*ln2 - 5^x*ln5 >= 0$
$(2/5)^x >= (ln5)/(ln2) = x>= (ln((ln5)/(ln2)))/(ln(2/5))$
che è l'esatto contrario di quello che dovrebbe essere
e come faccio a sapere che $(ln((ln5)/(ln2)))/(ln(2/5))$ è un numero negativo ?
quindi studiando quando $f'(x) >= 0$ trovo immediatamente eventuali zeri della funzione derivata prima e
ne studio anche il segno
adesso sto cercando di determinare gli intervalli di monotonia di questa funzione $2^x - 5^x$, ma ho un po di confusione
la derivata prima è $2^x*ln2 - 5^x*ln5$, e dopo risolvo $2^x*ln2 - 5^x*ln5 >= 0$
$(2/5)^x >= (ln5)/(ln2) = x>= (ln((ln5)/(ln2)))/(ln(2/5))$
che è l'esatto contrario di quello che dovrebbe essere
e come faccio a sapere che $(ln((ln5)/(ln2)))/(ln(2/5))$ è un numero negativo ?
"baka":
e come faccio a sapere che $(ln((ln5)/(ln2)))/(ln2)$ è un numero negativo ?
La soluzione più rozza, ma efficace, è quella di usare la calcolatrice...
La calcolatrice? Basta che vedi se $0
Non avevo visto la tua risposta, Tipper, e non è cancellabile questo post.
Non avevo visto la tua risposta, Tipper, e non è cancellabile questo post.
Hai ragione,
chiedevo solo per la possibilità che incontri qualcosa del genere durante l'esame
chiedevo solo per la possibilità che incontri qualcosa del genere durante l'esame
"Crook":
La calcolatrice? Basta che vedi se $0
Non avevo visto la tua risposta, Tipper, e non è cancellabile questo post.
Don't worry
Per lo studio della monotonia non risulta anche a voi $x >= ln(ln5/ln2)/ln(2/5)$ , e quindi punto di minimo ?
Studiando la derivata maggiore di zero si arriva a:
$(\frac{2}{5})^x>\frac{\ln(2)}{\ln(5)}$
Per trovare la $x$ si deve applicare ad ambo i membri il logaritmo in base $\frac{2}{5}$, ma dato che il logaritmo con base minore di $1$ è una funzione monotona decrescente si deve anche cambiare il verso della disequazione, quindi la funzione $2^x-5^x$ è monotona crescente per:
$x<\log_{\frac{2}{5}}(\frac{\ln(2)}{\ln(5)})$
$(\frac{2}{5})^x>\frac{\ln(2)}{\ln(5)}$
Per trovare la $x$ si deve applicare ad ambo i membri il logaritmo in base $\frac{2}{5}$, ma dato che il logaritmo con base minore di $1$ è una funzione monotona decrescente si deve anche cambiare il verso della disequazione, quindi la funzione $2^x-5^x$ è monotona crescente per:
$x<\log_{\frac{2}{5}}(\frac{\ln(2)}{\ln(5)})$
Grazie mille,
è da stamattina che cercavo di capire senza ottenere nulla
è da stamattina che cercavo di capire senza ottenere nulla
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