Derivabilità

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti

Vi scrivo perché ho un dubbio sulla derivabilità di funzione.
Dai miei studi so che una funzione è derivabile se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale.
Domanda moooolto sciocca:
Data una funzione $f$ e la sua derivata $f'$, affinchè $f$ sia derivabile in tutto il suo dominio, $f'$ deve essere continua?

Grazie in anticipo!!!

[Reyzet]

No, prendi:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{, per } x\neq 0 \\ 0 &\text{, per } x=0\end{cases} \; .
\]
Questa è continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, però la derivata non è continua in 0.

[CLaudio Nine]

"Reyzet":No, prendi:
$f(x)=x^2 sin(1/x), per x\ne 0, f(x)=0, per x=0$
Questa è continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, però la derivata non è continua in 0.

Caspita. Allora tu come continueresti la frase:
Data una funzione $f$ e la sua derivata $f'$, affinchè $f$ sia derivabile in tutto il suo dominio, $f'$ .....

[gugo82]

“... Deve esistere in ogni punto interno”.

È la definizione di funzione derivabile.

[CLaudio Nine]

"gugo82":“... Deve esistere in ogni punto interno”.

È la definizione di funzione derivabile.

Grazie!