Derivabilità!
Salve a tutti, vi espongo un breve esercizio, in particolare vorrei qualche parere sul metodo per risolverlo.
Definita una funzione definita a tratti
$ g(x)={ ( x^2 \rightarrow x<=-2 ),( 4 \rightarrow -2< x<= 2 ),( 1 \rightarrow x>2 ):} $
ne devo calcolare per quali valori $ x in R $ essa risulta derivabile in $ x $ .
Io ho calcolato la continuità tra il primo tratto ed il secondo tratto e tra il secondo tratto ed il terzo tratto calcolando i limiti delle funzioni definite per ogni tratto
Risulta che la $ g(x) $ è continua tra il primo tratto ed il secondo, ma discontinua tra il secondo ed il terzo.
Quindi ho calcolato la derivabilità nel tratto della funzione continua (dato che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità) e sembra che la funzione non sia derivabile... In particolare ho utilizzato il rapporto incrementale e ne ho calcolato il limite per ogni punto che presentava un'incognita (quindi un punto).
Qualcuno può confermare?
Per caso potevo semplicemente calcolare il limite delle derivate prime visto che la funzione è definita nel punto e anche lì è continua?
Definita una funzione definita a tratti
$ g(x)={ ( x^2 \rightarrow x<=-2 ),( 4 \rightarrow -2< x<= 2 ),( 1 \rightarrow x>2 ):} $
ne devo calcolare per quali valori $ x in R $ essa risulta derivabile in $ x $ .
Io ho calcolato la continuità tra il primo tratto ed il secondo tratto e tra il secondo tratto ed il terzo tratto calcolando i limiti delle funzioni definite per ogni tratto
Risulta che la $ g(x) $ è continua tra il primo tratto ed il secondo, ma discontinua tra il secondo ed il terzo.
Quindi ho calcolato la derivabilità nel tratto della funzione continua (dato che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità) e sembra che la funzione non sia derivabile... In particolare ho utilizzato il rapporto incrementale e ne ho calcolato il limite per ogni punto che presentava un'incognita (quindi un punto).
Qualcuno può confermare?
Per caso potevo semplicemente calcolare il limite delle derivate prime visto che la funzione è definita nel punto e anche lì è continua?
Risposte
$g'(x)={(2x if x<=-2),(0 if x>2):}$
ora g non è continua in x=2, quindi neanche derivabile.
$lim_{x to -2} f'(x)= -4$
$lim_{x to -2^+} f'(x)= 0$.
dunque non è derivabile neanche in x=-2.
Derivabile in $X=RR\{-2,2}$.
ora g non è continua in x=2, quindi neanche derivabile.
$lim_{x to -2} f'(x)= -4$
$lim_{x to -2^+} f'(x)= 0$.
dunque non è derivabile neanche in x=-2.
Derivabile in $X=RR\{-2,2}$.
Grazie per la risposta!
Quale funzione derivi per eseguire il limite con x che tende a -2 da destra?
Quale funzione derivi per eseguire il limite con x che tende a -2 da destra?
$g(x)=4$
Eccellente. Quindi l'ultima frase che hai scritto significa che la funzione è derivabile su tutto $ R $ escludendo i punti $ 2 $ e $ -2 $?
Sì
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