Derivabilità
Data la funzione $ y=(senpix)^2/(x-1) $ devo stabilire se il prolungamento di tale funzione è derivabile . La funzione è discontinua nel punto 1, quindi ho calcolato il limite in tale punto che vale 0. La funzione prolungata per continuità risulta che
vale 0 nel punto 1, quindi possiamo affermare che tale funzione ha derivata zero nel punto 1, quindi è derivabile in tale punto?
vale 0 nel punto 1, quindi possiamo affermare che tale funzione ha derivata zero nel punto 1, quindi è derivabile in tale punto?
Risposte
No. Quello che hai fatto ti permette solo di dire che l'estensione per continuità in $x=1$ esiste assumendo che il valore della funzione sia zero in tale punto. Per la derivabilità dell'estensione, invece, dovrai calcolare il limite del rapporto incrementale nel punto richiesto.
posto
$f(x)=(senpix)^2/(x-1)$ per $ x!=1 $
$f(x)=0$ per $x=1$
devi dimostrare che esiste finito
$lim _{h \to 0} (f(1+h)-f(1))/h$
$f(x)=(senpix)^2/(x-1)$ per $ x!=1 $
$f(x)=0$ per $x=1$
devi dimostrare che esiste finito
$lim _{h \to 0} (f(1+h)-f(1))/h$
Ho calcolato il limite del rapporto incrementale ed il suo valore è infinito, quindi la funzione non è derivabile ?
Sicura? A me la derivata viene uguale a $\pi^2$.
prova a sostituire a $(x-1)=t$ e poi tieni conto della ciclicità del seno e coseno e dei limiti notevoli (del seno in particolare per $t->0$)...vedrai che ti esce che è derivabile in $x=1$ quella funzione.
rifacendo il limite del rapporto incrementale mi viene uguale a zero
allora $f'(x)= (2sen(πx)πcos(xπ)(x-1) - (sen(πx))^2)/(x-1)^2$ sostituisci $x-1=t$
allora hai che $(2πsen(πt -π)cos(πt -π))/(t) -(sen(πt -π))^2/(t)^2$ dato che $t->0$ dopo il cambio variabile abbiamo che per la ciclicità del seno possiamo scrivere:
$2π(sen(πt)cos(πt-π))/(t) - (sen(πt))^2/(t^2) $
adesso possiamo applicare il limite notevole di sent per t->0 e abbiamo che:
$2π^(2)tcos(πt-π)/(t) - π^(2)t^(2)/t^2$
allora il coseno va a $-1 (-(-1))=1$ allora è chiaro che il limite sia uguale a $π^2$
allora hai che $(2πsen(πt -π)cos(πt -π))/(t) -(sen(πt -π))^2/(t)^2$ dato che $t->0$ dopo il cambio variabile abbiamo che per la ciclicità del seno possiamo scrivere:
$2π(sen(πt)cos(πt-π))/(t) - (sen(πt))^2/(t^2) $
adesso possiamo applicare il limite notevole di sent per t->0 e abbiamo che:
$2π^(2)tcos(πt-π)/(t) - π^(2)t^(2)/t^2$
allora il coseno va a $-1 (-(-1))=1$ allora è chiaro che il limite sia uguale a $π^2$
Asker... ma che stai facendo? Abbiamo detto fino ad ora che non puoi fare la derivata direttamente ma devi calcolare il limite del rapporto incrementale, e tu ti metti a derivare? Bocciato! 
Allora, ecco come procedere:
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\sin^2(\pi+\pi h)}{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin^2(\pi+h\pi)}{h^2}=$$
usando il fatto che $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{\sin^2(h\pi)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\sin(h\pi)}{h}\right)^2=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\sin(h\pi)}{h\pi}\cdot \pi\right)^2=\pi^2$$
dove ho usato il fatto che $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$.
@asker: è vero che puoi effettuare il calcolo della derivata in maniera "formale" (cioè basandoti sulle regole di derivazione), ma dal momento che la funzione originale non è definita nel punto $x=1$ per tale punto non puoi procedere così alla "leggera". Ti ricordo che per definizione di derivabilità, una funzione deve essere definita nel punto $x_0$ in cui vai a fare lo studio della derivata, e tale punto deve essere interno al dominio. Dal momento che qui si è costruita una estensione per continuità della funzione originale, la verifica dell'esistenza della derivata va fatta con il limite del rapporto incrementale (i.e. definizione della derivata) e non con il "calcolo brutale".
Allora, ecco come procedere:
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\sin^2(\pi+\pi h)}{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin^2(\pi+h\pi)}{h^2}=$$
usando il fatto che $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{\sin^2(h\pi)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\sin(h\pi)}{h}\right)^2=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\sin(h\pi)}{h\pi}\cdot \pi\right)^2=\pi^2$$
dove ho usato il fatto che $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$.
@asker: è vero che puoi effettuare il calcolo della derivata in maniera "formale" (cioè basandoti sulle regole di derivazione), ma dal momento che la funzione originale non è definita nel punto $x=1$ per tale punto non puoi procedere così alla "leggera". Ti ricordo che per definizione di derivabilità, una funzione deve essere definita nel punto $x_0$ in cui vai a fare lo studio della derivata, e tale punto deve essere interno al dominio. Dal momento che qui si è costruita una estensione per continuità della funzione originale, la verifica dell'esistenza della derivata va fatta con il limite del rapporto incrementale (i.e. definizione della derivata) e non con il "calcolo brutale".
vero, è sicuramente più rigoroso con la definizione di derivata, solo che a me hanno insegnato che si può fare anche così "brutalmente" però se l'esercizio non specifica di fare con il rapporto incrementale perchè è sbagliato? Sono daccordo che non è rigorosa come la tua ma...
però se l'esercizio non specifica di fare con il rapporto incrementale perchè è sbagliato? Sono daccordo che non è rigorosa come la tua ma...
E ti hanno insegnato male (o, per meglio dire, non proprio bene). Quando vuoi verificare la derivabilità "devi" determinare il limite del rapporto incrementale: spesso per problemi di definizione della funzione (dominio), altre perché il punto in questione è problematico. E' vero che l'idea di "calcolare la derivata in modo formale e poi fare il limite per $x\to x_0$" in generale funziona, ma non è, quella la corretta definizione di derivabilità. Infatti, nella definizione di derivata già esiste il concetto di calcolo del limite: nel metodo che usi tu, pertanto, è come se calcolassi due limiti di seguito e, come dovresti sapere se hai seguito analisi 2 e hai visto i limiti in due variabili, non è sempre possibili "invertire" l'ordine di tali limiti e, di conseguenza, potrebbe non essere possibile concludere in maniera corretta.
grazie ciampax della dritta...comunque me lo aveva "insegnato" quello di esercitazione di analisi 1, probabilmente per fare piu velocemente un esercizio sulla continuità; quello di teoria l'ha messa giu bene giustamente come dicevi te...adesso so quale è il metodo migliore per questo tipo di esercizi 
Eh, gli esercitatori! Comunque, come ti dicevo, non è un vero è proprio errore: tuttavia il procedimento "moralmente corretto" è quello che ho usato io (un po' come quando ti dicono che sarebbe meglio usare confronti locali e sviluppi di Taylor nei limiti, piuttosto che il teorema di de l'Hopital, o di evitare gli "oranghi" nella risoluzione di EDO a variabili separabili).
Comunque, come ti dicevo, non è un vero è proprio errore: tuttavia il procedimento "moralmente corretto" è quello che ho usato io (un po' come quando ti dicono che sarebbe meglio usare confronti locali e sviluppi di Taylor nei limiti, piuttosto che il teorema di de l'Hopital, o di evitare gli "oranghi" nella risoluzione di EDO a variabili separabili).
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