Derivabilità
ho fatto la derivata prima di questa funzione $y=(1+1/x)^x$ che mi esce $y'=(e^(xlog(1+1/x)))(log(1+1/x)-(1/(x+1))$
ora devo mettere $y'=0$ che è zer o quando $log(1+1/x)-(1/(x+1)$ va a zero quindi $log(1+1/x)=1/(x+1)$ quindi $e^(1/(x+1))=(1+1/x)$ qundi $x=1-e^(1/(x+1))$ quindi $1/(x+1)=0$ quindi $x=(1-1)/0$ quindi quanto esce zero?
ora devo mettere $y'=0$ che è zer o quando $log(1+1/x)-(1/(x+1)$ va a zero quindi $log(1+1/x)=1/(x+1)$ quindi $e^(1/(x+1))=(1+1/x)$ qundi $x=1-e^(1/(x+1))$ quindi $1/(x+1)=0$ quindi $x=(1-1)/0$ quindi quanto esce zero?
Risposte
negli ultimi passaggi c'è qualcosa di sbagliato...
nn riesco a trovare l'errore 
"walter89":
negli ultimi passaggi c'è qualcosa di sbagliato...
l'errore nn riesco a trovarlo...cmq nn riesco a capire perchè il libro la risolve in questo modo....$f(x)=(1+1/x)^x$ $f'(x)=(e^(xlog(1+1/x)))(log(1+1/x)-(1/(x+1)))$
qua dice che il segno della derivata prima è identico al segno della funzione perchè?
poi procede cosi
$g(x)=(log(1+1/x)-(1/(x+1)))$ l'insieme di definizione di g(x) è uguale all'insieme di definizione di f(x) a che serve precisare questo?
poi a trovato la derivata di $g'(x)=(-1)/(x(1+x^2))$
ha studiato il segno di g'(x) per capire dove la funzione è crescente e decrescente...perchè...
$f'(x)$ è il prodotto di un esponenziale per un altro pezzo che chiamiamo $g(x)$, ora siccome l'esponenziale è sempre crescente e non si annulla mai possiamo studiare solamente $g(x)$ ed ottenere i punti critici per $f$. Ti serve precisare che l'insieme di definizione sia lo stesso perchè altrimenti alcuni punti non verrebbero trovati.
"walter89":
$f'(x)$ è il prodotto di un esponenziale per un altro pezzo che chiamiamo $g(x)$, ora siccome l'esponenziale è sempre crescente e non si annulla mai possiamo studiare solamente $g(x)$ ed ottenere i punti critici per $f$. Ti serve precisare che l'insieme di definizione sia lo stesso perchè altrimenti alcuni punti non verrebbero trovati.
e come mai dice che il segno della derivata prima è identico a quello della funzione?....e poi perchè per capire dove la funzione è decrescente lo fa attraverso la derivata di g(x)? nn dovrebbe studiare la funzione g(x) visto che è gia la derivata di f(x)?
up
Ripartiamo da capo: prima di tutto il dominio. La funzione $y=(1+1/x)^x$ ha come dominio $(0,+oo)$.
Ora sfruttiamo il fatto che $A= e^(ln(A))$ (se $A>0$).
$y=(1+1/x)^x= e^[ln((1+1/x)^x)]= e^[x *ln(1+1/x)]$.
Quindi $y'= e^[x *ln(1+1/x)]* {ln(1+1/x) +x*[1/(1+1/x)* (-1/x^2)]} =$
$= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) +x*[x/(x+1) *(-1/x^2) ]}= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$
Pertanto $y=(1+1/x)^x$ e $y'= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$.
Si dimostra che per $x>0$ si ha $ln(1+1/x) -1/(x+1) >0$, quindi $y$ e $y'$ hanno lo stesso segno
Ora sfruttiamo il fatto che $A= e^(ln(A))$ (se $A>0$).
$y=(1+1/x)^x= e^[ln((1+1/x)^x)]= e^[x *ln(1+1/x)]$.
Quindi $y'= e^[x *ln(1+1/x)]* {ln(1+1/x) +x*[1/(1+1/x)* (-1/x^2)]} =$
$= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) +x*[x/(x+1) *(-1/x^2) ]}= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$
Pertanto $y=(1+1/x)^x$ e $y'= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$.
Si dimostra che per $x>0$ si ha $ln(1+1/x) -1/(x+1) >0$, quindi $y$ e $y'$ hanno lo stesso segno
"Gi8":
Ripartiamo da capo: prima di tutto il dominio. La funzione $y=(1+1/x)^x$ ha come dominio $(0,+oo)$.
Ora sfruttiamo il fatto che $A= e^(ln(A))$ (se $A>0$).
$y=(1+1/x)^x= e^[ln((1+1/x)^x)]= e^[x *ln(1+1/x)]$.
Quindi $y'= e^[x *ln(1+1/x)]* {ln(1+1/x) +x*[1/(1+1/x)* (-1/x^2)]} =$
$= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) +x*[x/(x+1) *(-1/x^2) ]}= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$
Pertanto $y=(1+1/x)^x$ e $y'= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$.
Si dimostra che per $x>0$ si ha $ln(1+1/x) -1/(x+1) >0$, quindi $y$ e $y'$ hanno lo stesso segno
nn riesco a capirlo
up
"Gi8":
Ripartiamo da capo: prima di tutto il dominio. La funzione $y=(1+1/x)^x$ ha come dominio $(0,+oo)$.
Ora sfruttiamo il fatto che $A= e^(ln(A))$ (se $A>0$).
$y=(1+1/x)^x= e^[ln((1+1/x)^x)]= e^[x *ln(1+1/x)]$.
Quindi $y'= e^[x *ln(1+1/x)]* {ln(1+1/x) +x*[1/(1+1/x)* (-1/x^2)]} =$
$= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) +x*[x/(x+1) *(-1/x^2) ]}= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$
Pertanto $y=(1+1/x)^x$ e $y'= (1+1/x)^x *{ln(1+1/x) -1/(x+1) }$.
Si dimostra che per $x>0$ si ha $ln(1+1/x) -1/(x+1) >0$, quindi $y$ e $y'$ hanno lo stesso segno
quindi diciamo che la derivata prima è il prodotto della funzione per ${ln(1+1/x) -1/(x+1) }$ io cmq il segno della funzione nn l'ho studiato quindi devo studiarlo per intero?
e poi a me il dominio esce $-1>x>0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo