Derivabile e monotona

[Karozzi]

Ciao a tutti, durante un esame ho avuto un problema con questo esercizio.

dimostrare la seguente affermazione: se $f(x)$ è derivabile in ogni punto di $R$ ed è monotona crescente in $R$, allora
$f'(x) ≥ 0$ per ogni $x in R$

Cosa dovrei fare? Se considero la funzione $e^x$, ad esempio, è palesemente vera.
Ma come dimostrarlo senza ricorrere ad esempi?

[MrMeaccia]

Una funzione è monotona crescente se $(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0) >=0$ con $x_1>x_0$
Una funzione è derivabile in ogni punto di $RR$ se $AAx_0 in RR ,lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=l$ con $l in RR$ finito.
Queste sono le tue ipotesi.
Per dimostrare questa affermazione, potresti semplicemente fare il limite del rapporto incrementale e verificare che per le x che hai scelto vale $f'(x)>=0$ , cioè dovresti ottenere la tesi!

[Karozzi]

Non posso fare esempi e basarmi su $x$ che ho scelto io, devo dimostrarlo teoricamente.

[dissonance]

Ma infatti devi seguire la procedura indicata da MrMeaccia in generale, non su un esempio specifico. Ti è chiaro il concetto di dimostrazione? Hai qualche dubbio su questo e ti conviene togliertelo adesso.

[MrMeaccia]

Infatti non ho fatto esempi.. non so se è corretta, ma questa vuole essere una dimostrazione!
Se la funzione è crescente $lim_(x->x_0) f(x)-f(x_0)= l>=0 $
e lo stesso vale per il denominatore $lim_(x->x_0)x-x_0= l'>=0 $
allora il $lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/lim_(x->x_0)x-x_0= l/l'=f'(x)>=0 $

[Karozzi]

Scusate non avevo letto bene ringrazio MrMeaccia per l'aiuto, avevo capito malissimo ciò che aveva scritto.
Sono grato, molto, per l'aiuto.