Densità in spazi di Hilbert

[Fox4]

Non ho ben chiara una cosa e non riesco a trovarla...

Sia $H$ uno spazio di Hilbert:

$H\supsetA$ sottospazio vettoriale è aperto $<=>\ \ A=H$

$H\supsetC$ sottospazio vettoriale è chiuso


Stavo cercando di capire: quando un sottoinsieme $D$ di $H$ è denso?

Se $D$ è anche sottospazio vettoriale allora mi pare di poter dire che è denso se e solo se $D=H$

[irenze]

Non proprio. Se aggiungi la completezza del sottospazio allora hai ragione. Sennò i controesempi sono tantissimi (uno dei più utili essendo lo spazio delle funzioni continue col prodotto scalare $L^2$ dentro ad $H = L^2$)

E non mi sembra vera nemmeno la tua prima affermazione (sempre per lo stesso controesempio).

[dissonance]

"Fox":Se $D$ è anche sottospazio vettoriale allora mi pare di poter dire che è denso se e solo se $D=H$

Eh no è falso. Anche qua, la stessa storia dell'altro topic: in dimensione finita la tua affermazione è vera ma in generale è falsa.

Esempio facile facile: con le notazioni dell'altro topic, sia $M$ il sottospazio di $l^2$ generato da ${e^1, e^2, ...)$ ($M$ è costituito dalle successioni nulle tranne al più per un numero finito di indici). Questo sottospazio non è chiaramente tutto $l^2$ ma è denso, come mostriamo subito:

Siano $x=(x_n)\inl^2, epsilon>0$. Per definizione la serie $sum_{n=0}^infty|x_n|^2$ è convergente, quindi in particolare esiste $N\inNN$ tale che $sum_{n=N}^infty|x_n|^2

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[gugo82]

"Fox":Stavo cercando di capire: quando un sottoinsieme $D$ di $H$ è denso?

Beh, la definizione è sempre la stessa: $D$ è denso in $H$ se e solo se ogni punto di $H$ è di accumulazione per $D$ (il che vuol dire che $AA x \in H,\ exists (x_n)\subseteq D: \ x_n\to x$, visto che $H$ si struttura canonicamente come spazio metrico); oppure se per ogni aperto $A\subseteq H$ non vuoto, $D cap A!=\emptyset$.

Ma forse intendevi altro... Tipo una caratterizzazione degli insiemi densi?

[Fox4]

Grazie a tutti dell' attenzione

pensavo:
se $Q$ è denso in $H$ e ha un buco in una data direzione, subito vicino c'è un punto appartenente a $Q$ sulla stessa direzione; e quindi se $Q$ è pure spazio vettoriale con una costante $\alfa \in \mathbb{R}$ cado proprio sul buco e posso quindi affermare che non può esistere.

Ma evidentemente in dimensione infinita il mio ragionamento non funziona, dato il controesempio di dissonance...

Solo una domanda: Ma quando $\epsilon->0$ devo far tendere $N$ a $+\infty$, e questa cosa non vuol dire che i due spazi sono in realtà lo stesso?

Questa dimensione infinita sembra proprio che non riesca a digerirla...

"Gugo82":Ma forse intendevi altro... Tipo una caratterizzazione degli insiemi densi?

Si qualcosa del genere credo, anche se di preciso non sono sicuro di sapere cosa sia una caratterizzazione...
Visto che per certe dimostrazioni il mio libro sorvola su alcuni fatti quando si parla di densità, mi chiedevo come erano fatti questi insiemi densi negli spazi di Hilbert, cioè che cosa si poteva dire su di loro...

[gugo82]

"Fox":Grazie a tutti dell' attenzione

pensavo:
se $Q$ è denso in $H$ e ha un buco in una data direzione, subito vicino c'è un punto appartenente a $Q$ sulla stessa direzione; e quindi se $Q$ è pure spazio vettoriale con una costante $\alpha \in \mathbb{R}$ cado proprio sul buco e posso quindi affermare che non può esistere.

Ma evidentemente in dimensione infinita il mio ragionamento non funziona, dato il controesempio di dissonance...

E quello di irenze...

Comunque, sì in dimensione infinita cambiano molte cose; all'inizio farci l'occhio è un po' difficile.

"Fox":[quote="Gugo82"]Ma forse intendevi altro... Tipo una caratterizzazione degli insiemi densi?

Si qualcosa del genere credo, anche se di preciso non sono sicuro di sapere cosa sia una caratterizzazione...
Visto che per certe dimostrazioni il mio libro sorvola su alcuni fatti quando si parla di densità, mi chiedevo come erano fatti questi insiemi densi negli spazi di Hilbert, cioè che cosa si poteva dire su di loro...[/quote]
Una caratterizzazione è un teorema che ti dice "gli insiemi che godono di una certa proprietà sono tutti e soli quelli fatti così e così"; esempio tipico: "In $RR^N$ (o in ogni spazio euclideo a dimensione finita) sono compatti tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati".

Inoltre non credo che sia possibile dare una caratterizzazione degli insiemi densi, però non ho mai approfondito la questione.


P.S.: Una curiosità, Fox: che libro usi?

[Fox4]

"Gugo82": E quello di irenze...

giusto. Pardòn

"Gugo82": P.S.: Una curiosità, Fox: che libro usi?

Diversi... Ultimamente sto studiando su "Linear Operator Theory in Engineering and Science" di Naylor e Sell,che mi sembra presenti il succo del discorso in maniera chiara e dettagliata, ma comunque molto più sintetica di altri. Dato che vado di fretta non volevo soffermarmi su tutti i dettagli e scorrere velocemente per esempio la parte sugli spazi di hilbert che mi sembrava somigliare molto agli spazi vettoriali che conoscevo, ma temo sia una brutta idea dato che questa dimensione infinita mi cambia le carte in tavola...

"dissonance":
Esempio facile facile: con le notazioni dell'altro topic, sia $M$ il sottospazio di $l^2$ generato da ${e^1, e^2, ...)$ ($M$ è costituito dalle successioni nulle tranne al più per un numero finito di indici). Questo sottospazio non è chiaramente tutto $l^2$ ma è denso, come mostriamo subito:

Siano $x=(x_n)\inl^2, epsilon>0$. Per definizione la serie $sum_{n=0}^infty|x_n|^2$ è convergente, quindi in particolare esiste $N\inNN$ tale che $sum_{n=N}^infty|x_n|^2

"Fox":Solo una domanda: Ma quando $\epsilon\to0$ devo far tendere $N$ a $+\infty$ , e questa cosa non vuol dire che i due spazi sono in realtà lo stesso?

[gugo82]

"Fox":[quote="Gugo82"] E quello di irenze...

giusto. Pardòn

"Gugo82": P.S.: Una curiosità, Fox: che libro usi?

Diversi... Ultimamente sto studiando su "Linear Operator Theory in Engineering and Science" di Naylor e Sell,che mi sembra presenti il succo del discorso in maniera chiara e dettagliata, ma comunque molto più sintetica di altri. Dato che vado di fretta non volevo soffermarmi su tutti i dettagli e scorrere velocemente per esempio la parte sugli spazi di hilbert che mi sembrava somigliare molto agli spazi vettoriali che conoscevo, ma temo sia una brutta idea dato che questa dimensione infinita mi cambia le carte in tavola...[/quote]
Non conosco.

Se frequenti ingegneria forse potresti dare un'occhiata a questi appunti.

"Fox":[quote="dissonance"]
Esempio facile facile: con le notazioni dell'altro topic, sia $M$ il sottospazio di $l^2$ generato da ${e^1, e^2, ...)$ ($M$ è costituito dalle successioni nulle tranne al più per un numero finito di indici). Questo sottospazio non è chiaramente tutto $l^2$ ma è denso, come mostriamo subito:

Siano $x=(x_n)\inl^2, epsilon>0$. Per definizione la serie $sum_{n=0}^infty|x_n|^2$ è convergente, quindi in particolare esiste $N\inNN$ tale che $sum_{n=N}^infty|x_n|^2

"Fox":Solo una domanda: Ma quando $\epsilon\to0$ devo far tendere $N$ a $+\infty$ , e questa cosa non vuol dire che i due spazi sono in realtà lo stesso?

[/quote]
No.

$M:="span"\{ e^1,\ldots ,e^n,\ldots \}$ è un sottospazio proprio di $H$: ad esempio la successione $i=(1,1/2,\ldots ,1/n,\ldots)$ non è in $M$, dato che $M$ contiene tutte e sole le successioni definitivamente nulle (insomma $M=c_(00)$).

[Fox4]

Ti ringrazio, gli darò un'occhiata.

"Gugo82":
$M:="span"\{ e^1,\ldots ,e^n,\ldots \}$ è un sottospazio proprio di $H$: ad esempio la successione $i=(1,1/2,\ldots ,1/n,\ldots)$ non è in $M$, dato che $M$ contiene tutte e sole le successioni definitivamente nulle (insomma $M=c_(00)$).

Si ok, dato che $|x_n|\to0$ allora $\forall \epsilon>0$ $\exists N\in mathbb{N}$ tale che da li in poi la somma degli $|x_n|$ è minore di $\epsilon$.
$N\in \mathbb{N}$, cioè $N$ può essere anche 7 miliardi ma è diverso da $+\infty$. Ciò che manca per essere $l^2$ è sempre quello stramaledetto infinito giusto?

[gugo82]

"Ciò che manca per essere $l^2$" a chi/che cosa?
Non credo di aver afferrato il senso della domanda...

Quello che è importante è che le successioni di $M$ sono tutte definitivamente nulle, mentre non sono definitivamente nulle tutte quelle di $l^2$ (ad esempio $i=(1,1/2,\ldots ,1/n,\ldots )$ non è definitivamente nulla, pur essendo $l^2$ in quanto la serie $\sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2$ è convergente).
Inoltre ogni $(x_n) \in l^2$ è caratterizzata dalla proprietà seguente:

(*) $\quad lim_(n\to +oo) \sum_(k=n)^(+oo) |x_k|^2=0$

la quale esprime il fatto che la successione dei resti relativa alla serie $\sum |x_n|^2$ è infinitesima, ossia che la serie $\sum |x_n|^2$ è convergente.
Chiaramente è proprio la (*) a consentire di provare che per ogni $x=(x_n) \in l^2$ è possibile determinare $\bar(x)=(\bar(x)_n) \in M$ tale che $||x-\bar(x)||_2=\sqrt(\sum_(n=1)^(+oo) |x_n-\bar(x)_n|^2)

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[Fox4]

Cioè intendevo $M={\sum_{k=1}^n c_k*e^k \ \ | \ \ c_k\in\mathbb{R}\ ,\ n

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[gugo82]

"Fox":Cioè intendevo $M={\sum_{k=1}^n c_k*e^k \ \ | \ \ c_k\in\mathbb{R}\ ,\ n
Più o meno sì (fermo restante la considerazione tra parentesi).

Noto però che è scritta male la proprietà caratteristica di $M$, in quanto sembra che $M$ contenga solo le successioni che hanno nulli tutti i termini dall'$N$-esimo in poi con $N$ fissato a priori.

A voler essere precisi, la classe $M$ è quella individuata dalla seguente scrittura:

$M:=\{ c=(c_n) \in l^2: \ exists N_c\in NN: \ AA n >=N_c , c_n=0\}$.

[Fox4]

Si ok, da come l'ho scritta io poteva sembrare che $N$ fosse determinato invece intendevo per tutti gli $N\in\mathbb{N}$

Grazie come al solito dell'aiuto!