Densità e successioni
Ciao a tutti,
sto cercando di dimostrare il seguente teorema:
Teorema - Siano \( (X,d) \) uno spazio metrico, \( B \subseteq X \). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) \( B \) è denso in \( X \);
(2) \( \forall x \in X \), \( \forall \varepsilon > 0 \) \( \exists z \in B : d(z,x) < \varepsilon \);
(3) \( \forall x \in X \) esiste una successione \( \lbrace x_n \rbrace \) a valori in \( B \) convergente ad \( x \).
Più nello specifico, mi interessa capire per quale motivo risulta (2) \( \Leftrightarrow \) (3) (il resto tralasciatelo pure) e non ho la più pallida idea di come iniziare.
Chi mi aiuta?
sto cercando di dimostrare il seguente teorema:
Teorema - Siano \( (X,d) \) uno spazio metrico, \( B \subseteq X \). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) \( B \) è denso in \( X \);
(2) \( \forall x \in X \), \( \forall \varepsilon > 0 \) \( \exists z \in B : d(z,x) < \varepsilon \);
(3) \( \forall x \in X \) esiste una successione \( \lbrace x_n \rbrace \) a valori in \( B \) convergente ad \( x \).
Più nello specifico, mi interessa capire per quale motivo risulta (2) \( \Leftrightarrow \) (3) (il resto tralasciatelo pure) e non ho la più pallida idea di come iniziare.
Chi mi aiuta?
Risposte
Mi pare che $3)\ \Rightarrow\ 2)$ sia ovvia, no? Voglio dire, se$x_n$è la successione ci sono, per definizione di convergenza, infiniti valori di essa per cui $d(x,x_n)<\epsilon$, proprio per definizione di limite.
Tra l'altro, anche $1)\ \Rightarrow\ 2)$ mi sembra abbastanza ovvia (oddio, forse vanno scritte due parole in più rispetto a prima).
Io a questo punto farei vedere che $1)\ \Rightarrow\ 2)$ e quindi hai concluso.
P.S.: più o meno ad occhio mi sembra lo schema più veloce da seguire, ma forse si può fare anche meglio.
Tra l'altro, anche $1)\ \Rightarrow\ 2)$ mi sembra abbastanza ovvia (oddio, forse vanno scritte due parole in più rispetto a prima).
Io a questo punto farei vedere che $1)\ \Rightarrow\ 2)$ e quindi hai concluso.
P.S.: più o meno ad occhio mi sembra lo schema più veloce da seguire, ma forse si può fare anche meglio.
Se \(\displaystyle \{x_n\}\to x \) allora \(\displaystyle d(x_n,x)\to 0 \). Viceversa ti basta prendere un \(\displaystyle x_n \) tale che \(\displaystyle d(x_n,x) < \frac{1}{n} \) per ogni \(\displaystyle n \). I particolari te li lascio.
Ok, \( (3) \Rightarrow (2) \) l'ho capito.
Non ho capito invece il tuo suggerimento, vict85: una volta che io scelgo quella successione come faccio a concludere?
Non ho capito invece il tuo suggerimento, vict85: una volta che io scelgo quella successione come faccio a concludere?
Fissi $x in X$. Devi costruire una successione ${x_n}$ a valori in $B$ convergente a $x$.
Sai per ipotesi che per ogni $epsilon >0$ esiste $z in B$ tale che $d(z,x)
Per ogni $n in NN$ scegli $epsilon = 1/n$ e hai che esiste $x_n in B$ : $d(x_n,x) < 1/n$.
Abbiamo così una successione che soddisfa le richieste.
Sai per ipotesi che per ogni $epsilon >0$ esiste $z in B$ tale che $d(z,x)
Per ogni $n in NN$ scegli $epsilon = 1/n$ e hai che esiste $x_n in B$ : $d(x_n,x) < 1/n$.
Abbiamo così una successione che soddisfa le richieste.
Dopo un po' di riflessioni ci sono arrivato!
Grazie a tutti per i preziosi suggerimenti.
Grazie a tutti per i preziosi suggerimenti.
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