Densità dell'immagine dell'esponenziale f(Q) in R+

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duckside
duckside
24 giu 2021, 15:37
Ciao ragazzi, non mi è chiaro un passaggio della seguente dimostrazione (dal Marcellini Sbordone).

Lemma di densità: (viene usato per dimostrare la suriettività dell'esponenziale)
Sia $a>0, a != 1$. Si provi che $ AA alpha ,beta in R^+\ :\ alpha
Dimostrazione:

Capisco perché si considera $a>1$, ma perché anche $1<=alpha$?
Risposte
gugo82
gugo82
24 giu 2021, 15:39
Beh, se $alpha < 1 < beta$, allora $]1, beta[ sub ]alpha,beta[$, quindi se per qualche $y$ il numero $a^y$ cade tra $1$ e $beta$ hai finito.
Se, invece, $alpha < beta <=1$, allora ti basta prendere i reciproci visto che $alpha < a^y < beta <=> 1/beta < (1/a)^y < 1/alpha$ con $1<=1/beta =: alpha^\prime$ e $alpha^\prime < 1/alpha =: beta^\prime$.
duckside
duckside
24 giu 2021, 16:07
"gugo82":
Beh, se $alpha < 1 < beta$, allora $]1, beta[ sub ]alpha,beta[$, quindi se per qualche $y$ il numero $a^y$ cade tra $1$ e $beta$ hai finito.
Se, invece, $alpha < beta <=1$, allora ti basta prendere i reciproci visto che $alpha < a^y < beta <=> 1/beta < (1/a)^y < 1/alpha$ con $1<=1/beta =: alpha^\prime$ e $alpha^\prime < 1/alpha =: beta^\prime$.


Ciao, grazie per la risposta! Mi è chiaro come si deducano gli altri casi una volta dimostrato per $1<=alpha1$, giusto? Anche l'esistenza del max di quell'insieme dovrebbe valere $AA alpha >0$

Edit: Effettivamente, il libro dà per scontata l'esistenza del max (non la dimostra), quindi supporre $1<=alpha$ non serve (credo). Però ora provando a dimostrarla, ho dovuto separare i due casi $0
dissonance
dissonance
24 giu 2021, 17:24
Suona proprio strano, detto così. "Densità" del "codominio"... Io direi: l'immagine dell'esponenziale è un intervallo.
duckside
duckside
24 giu 2021, 17:34
"dissonance":
Suona proprio strano, detto così. "Densità" del "codominio"... Io direi: l'immagine dell'esponenziale è un intervallo.


Il Marcellini - Sbordone definisce "codominio" l'immagine della funzione (e anche la mia prof di Analisi...) :?
Mephlip
Mephlip
24 giu 2021, 18:37
[ot][/ot]
duckside
duckside
24 giu 2021, 19:14
"Mephlip":
[ot][/ot]

:lol:

@dissonance Comunque non ho capito... è la stessa cosa dire "f(Q) è denso in R+" e "f(Q) è un intervallo"??
dissonance
dissonance
24 giu 2021, 19:59
No, non è la stessa cosa, assolutamente no. Ma mi pare che alla fine dimostri che l'immagine è un intervallo

P. S. Ah no, adesso ho capito. Quella è l'esponenziale sui numeri razionali. Ignora questo fatto dell'intervallo, per favore
duckside
duckside
24 giu 2021, 20:09
"dissonance":
No, non è la stessa cosa, assolutamente no. Ma mi pare che alla fine dimostri che l'immagine è un intervallo

P. S. Ah no, adesso ho capito. Quella è l'esponenziale sui numeri razionali. Ignora questo fatto dell'intervallo, per favore

Sì, scusa, colpa mia che non l'ho specificato nel titolo. Ora ho corretto, spero sià più chiaro.
gugo82
gugo82
25 giu 2021, 07:15
"duckside":
Il Marcellini - Sbordone definisce "codominio" l'immagine della funzione (e anche la mia prof di Analisi...) :?

Ognuno c'ha le sue perversioni. :lol:

"duckside":
[quote="gugo82"]Beh, se $ alpha < 1 < beta $, allora $ ]1, beta[ sub ]alpha,beta[ $, quindi se per qualche $ y $ il numero $ a^y $ cade tra $ 1 $ e $ beta $ hai finito.
Se, invece, $ alpha < beta <=1 $, allora ti basta prendere i reciproci visto che $ alpha < a^y < beta <=> 1/beta < (1/a)^y < 1/alpha $ con $ 1<=1/beta =: alpha^\prime $ e $ alpha^\prime < 1/alpha =: beta^\prime $.


Ciao, grazie per la risposta! Mi è chiaro come si deducano gli altri casi una volta dimostrato per $ 1<=alpha$, piuttosto non capisco perché ci si limiti a considerare solo quel caso... cioè, quale passaggio della dimostrazione verrebbe meno? L'esistenza dell' $ n $ è giustificata dal fatto che l'esponenziale sia superiormente illimitato e $ beta/alpha>1 $, giusto? Anche l'esistenza del max di quell'insieme dovrebbe valere $ AA alpha >0 $

Edit: Effettivamente, il libro dà per scontata l'esistenza del max (non la dimostra), quindi supporre $ 1<=alpha $ non serve (credo). Però ora provando a dimostrarla, ho dovuto separare i due casi $ 0$ e $ 1<=alpha $, quindi immagino che sia per questo? Supponendo $ 1<= alpha $ devo dimostrarlo solo in un caso (l'altro è analogo).[/quote]
Stavo per proporti un'obiezione simile a quella del tuo Edit: probabilmente gli sarebbe servita lì quell'ipotesi.
Che testo stai usando? Elementi?
duckside
duckside
25 giu 2021, 08:13
"gugo82":
Stavo per proporti un'obiezione simile a quella del tuo Edit: probabilmente gli sarebbe servita lì quell'ipotesi.
Che testo stai usando? Elementi?

No, "Analisi Matematica uno"
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