Densità dei polinomi nelle funzioni continue
Definisco $P_n$ come l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a $n$.
Come posso mostrare che $uuu_nP_n$ è denso in $(C[a,b],||*||_2)$?
In teoria si potrebbe mostrare che la chiusura di $uuu_nP_n$ è esattamente $(C[a,b],||*||_2)$, ovvero che per ogni funzione $f\inC[a,b]$ esiste una successione di polinomi ${p_i}_(i\inNN)$ tale che $p_i\inP_iAAi\inNN$ e che il limite di questa successione è proprio $f$, ma come posso dimostrarlo?
Come posso mostrare che $uuu_nP_n$ è denso in $(C[a,b],||*||_2)$?
In teoria si potrebbe mostrare che la chiusura di $uuu_nP_n$ è esattamente $(C[a,b],||*||_2)$, ovvero che per ogni funzione $f\inC[a,b]$ esiste una successione di polinomi ${p_i}_(i\inNN)$ tale che $p_i\inP_iAAi\inNN$ e che il limite di questa successione è proprio $f$, ma come posso dimostrarlo?
Risposte
Visto che parli di norma 2, avrai sicuramente già assodato il teorema di Weierstrass: \(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}P_n\) è denso in \(C([a, b], \lVert \cdot \rVert_{\infty})\). Non devi fare altro che sfruttare questo risultato servendoti della disuguaglianza
\[\lVert u \rVert_2 \le \sqrt{b-a} \lVert u \rVert_{\infty}.\]
\[\lVert u \rVert_2 \le \sqrt{b-a} \lVert u \rVert_{\infty}.\]
Giusto una curiosità... Com'è definita $||f||_2$ nello spazio delle funzioni $C[a,b]$ ?
$||f||_2=(\int_a^b|f(x)|^2dx)^(1/2)$.
Quindi posso dire che per i teoremi di Weierstrass so che fissato $f\inC[a,b]$ per ogni $epsilon>0$ esiste un polinomio $phi_(epsilon)$ tale che $||f-phi_(epsilon)||_(oo)<=epsilon$ e per la disuguaglianza che mi hai scritto anche $||f-phi_(epsilon)||_(2)<=epsilon$ e ho concluso?
Quindi posso dire che per i teoremi di Weierstrass so che fissato $f\inC[a,b]$ per ogni $epsilon>0$ esiste un polinomio $phi_(epsilon)$ tale che $||f-phi_(epsilon)||_(oo)<=epsilon$ e per la disuguaglianza che mi hai scritto anche $||f-phi_(epsilon)||_(2)<=epsilon$ e ho concluso?
Si, ma fai bene i conti all'epsilon:
\[\lVert f - \phi_{\epsilon} \rVert_2\le \sqrt{b-a} \epsilon.\]
\[\lVert f - \phi_{\epsilon} \rVert_2\le \sqrt{b-a} \epsilon.\]
Chiaro, grazie 
Altra questione di densità...come posso mostrare che l'insieme $C_pi[-pi,pi]$ delle funzioni continue e periodiche nell'intervallo $[-pi,pi]$ è denso nell'insieme $(C[-pi,pi],||*||_2)$ delle funzioni continue nello stesso intervallo?
Perchè sapendo che l'insieme dei polinomi trigonometrici è denso in $(C_pi[-pi,pi],||*||_2)$, se mostro anche il fatto sopra citato dovrebbe accadere che i polinomi trigonometrici sono densi anche in $(C[-pi,pi],||*||_2)$...
Altra questione di densità...come posso mostrare che l'insieme $C_pi[-pi,pi]$ delle funzioni continue e periodiche nell'intervallo $[-pi,pi]$ è denso nell'insieme $(C[-pi,pi],||*||_2)$ delle funzioni continue nello stesso intervallo?
Perchè sapendo che l'insieme dei polinomi trigonometrici è denso in $(C_pi[-pi,pi],||*||_2)$, se mostro anche il fatto sopra citato dovrebbe accadere che i polinomi trigonometrici sono densi anche in $(C[-pi,pi],||*||_2)$...
"thedarkhero":Ingegnati un po'. Fatti un disegno. Una funzione è in \(C_{\pi}([-\pi, \pi])\) se e solo se è continua in \((-\pi, \pi)\) e assume valori uguali agli estremi. Pensa a come puoi approssimare una funzione continua in \([-\pi, \pi]\), ma che può assumere valori diversi agli estremi, con una funzione di \(C_{\pi}\). Poi passa a verificare che questa approssimazione è buona in norma \(\lVert \cdot \rVert_2\).
Chiaro, grazie
Altra questione di densità...come posso mostrare che l'insieme $C_pi[-pi,pi]$ delle funzioni continue e periodiche nell'intervallo $[-pi,pi]$ è denso nell'insieme $(C[-pi,pi],||*||_2)$ delle funzioni continue nello stesso intervallo?
Cerca di non chiedere altri suggerimenti. Devi arrivarci da solo, a questo punto hai tutti gli strumenti per concludere.
Perchè sapendo che l'insieme dei polinomi trigonometrici è denso in $(C_pi[-pi,pi],||*||_2)$, se mostro anche il fatto sopra citato dovrebbe accadere che i polinomi trigonometrici sono densi anche in $(C[-pi,pi],||*||_2)$...
Certo, infatti è proprio così.
Data $f\inC_(pi)[-pi,pi]$ e preso $epsilon>0$ definisco $f^*(x)={(f,if x\in[-pi,pi-epsilon]),(x(x),if x\in]pi-epsilon,pi]):$ dove $r(x)$ e' la retta che passa per i punti $A=(pi-epsilon,f(pi-epsilon))$ e $B=(pi,f(-pi))$.
Ora ho che $||f-f^*||_2=(\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)<=|f(-pi)-f(pi)|*sqrt(epsilon)=C_f*sqrt(epsilon)$ quindi ho mostrato che le funzioni periodiche sono dense in quelle continue.
Poi per mostrare la "transitivita' della densita'" considero che...
Preso $epsilon>0$ e fissata $f\inC[-pi,pi]$ esiste $f^*\inC_(pi)[-pi,pi]$ tale che $||f-f^*||_2<=epsilon$ per la densita' di $C_(pi)[-pi,pi]$ in $(C[-pi,pi],||*||_2)$, inoltre per la densita' dei polinomi trigonometrici in $(C_pi[-pi,pi],||*||_2)$ esiste un polinomio trigonometrico $t$ tale che $||t-f^*||_2<=epsilon$.
Ora siccome $||*||_2$ e' una norma posso usare la disuguaglianza triangolare per concludere che $||t-f||_2<=||f-f^*||_2+||t-f^*||_2<=epsilon+epsilon=2epsilon$.
Tutto corretto?
Ora ho che $||f-f^*||_2=(\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)<=|f(-pi)-f(pi)|*sqrt(epsilon)=C_f*sqrt(epsilon)$ quindi ho mostrato che le funzioni periodiche sono dense in quelle continue.
Poi per mostrare la "transitivita' della densita'" considero che...
Preso $epsilon>0$ e fissata $f\inC[-pi,pi]$ esiste $f^*\inC_(pi)[-pi,pi]$ tale che $||f-f^*||_2<=epsilon$ per la densita' di $C_(pi)[-pi,pi]$ in $(C[-pi,pi],||*||_2)$, inoltre per la densita' dei polinomi trigonometrici in $(C_pi[-pi,pi],||*||_2)$ esiste un polinomio trigonometrico $t$ tale che $||t-f^*||_2<=epsilon$.
Ora siccome $||*||_2$ e' una norma posso usare la disuguaglianza triangolare per concludere che $||t-f||_2<=||f-f^*||_2+||t-f^*||_2<=epsilon+epsilon=2epsilon$.
Tutto corretto?
La seconda è ok. Per la prima hai avuto l'idea giusta ma come prima hai pasticciato nei conti all'epsilon. Rifalli bene con meno sciatteria: devi sfruttare la continuità della \(f\) da qualche parte. Io proverei a stimare la distanza al quadrato:
\[\lVert f-f^\star\rVert_2^2=\int_{\pi-\varepsilon}^\pi\lvert f(x)-f(\pi-\varepsilon)-(f(\pi)-f(\pi-\varepsilon))x\rvert^2\, dx.\]
\[\lVert f-f^\star\rVert_2^2=\int_{\pi-\varepsilon}^\pi\lvert f(x)-f(\pi-\varepsilon)-(f(\pi)-f(\pi-\varepsilon))x\rvert^2\, dx.\]
Non capisco perché facciate tutti questi giri.
Immagino che \(C_\Pi ([-\pi,\pi]):=\{ u\in C([-\pi,\pi]):\ u(-\pi)=u(\pi)\}\).
Di conseguenza:
\[
C_\Pi ([-\pi ,\pi]) \subset C([-\pi ,\pi]) \subset L^2(-\pi,\pi)\; ;
\]
ora l'insieme dei polinomi trigonometrici \(\mathcal{T} \subset C_\Pi ([-\pi ,\pi])\) è denso in \(L^2(-\pi,\pi)\), quindi anche \(C_\Pi ([-\pi,\pi])\) è denso in \(L^2([-\pi,\pi])\).
Ma allora \(C_\Pi ([-\pi,\pi])\) è denso in \(C([-\pi,\pi])\subset L^2(-\pi,\pi)\).
Immagino che \(C_\Pi ([-\pi,\pi]):=\{ u\in C([-\pi,\pi]):\ u(-\pi)=u(\pi)\}\).
Di conseguenza:
\[
C_\Pi ([-\pi ,\pi]) \subset C([-\pi ,\pi]) \subset L^2(-\pi,\pi)\; ;
\]
ora l'insieme dei polinomi trigonometrici \(\mathcal{T} \subset C_\Pi ([-\pi ,\pi])\) è denso in \(L^2(-\pi,\pi)\), quindi anche \(C_\Pi ([-\pi,\pi])\) è denso in \(L^2([-\pi,\pi])\).
Ma allora \(C_\Pi ([-\pi,\pi])\) è denso in \(C([-\pi,\pi])\subset L^2(-\pi,\pi)\).
Non capisco perché facciate tutti questi giriPerché la proprietà seguente non è ancora stata acquisita dall'OP:
"gugo82":
ora l'insieme dei polinomi trigonometrici \(\mathcal{T} \subset C_\Pi ([-\pi ,\pi])\) è denso in \(L^2(-\pi,\pi)\)
anzi thedarkhero sta proprio cercando di dimostrare che i polinomi trigonometrici sono \(\lVert\cdot\rVert_2\)-densi in \(C([-\pi, \pi])\) sapendo che lo sono in \(C_\pi([-\pi, \pi])\). Per questo occorre una dimostrazione diretta della \(\lVert \cdot\rVert_2\)-densità di \(C_\pi\) in \(C\).
"dissonance":
La seconda è ok. Per la prima hai avuto l'idea giusta ma come prima hai pasticciato nei conti all'epsilon. Rifalli bene con meno sciatteria: devi sfruttare la continuità della \(f\) da qualche parte. Io proverei a stimare la distanza al quadrato:
\[\lVert f-f^\star\rVert_2^2=\int_{\pi-\varepsilon}^\pi\lvert f(x)-f(\pi-\varepsilon)-(f(\pi)-f(\pi-\varepsilon))x\rvert^2\, dx.\]
Perchè ho pasticciato nei conti? Ho riguardato i passaggi e mi sembrano tutti corretti, raggiungo una maggiorazione rispetto a $epsilon$...dov'è che ho commesso l'errore?
@dissonance: Capisco... Ma non l'avevo letto da nessuna parte.
@Gugo: Si, è una informazione seppellita tra i vari post, precisamente qui:
post619383.html#p619383
@thedarkhero: Per evitare questi fraintendimenti le prossime volte apri un thread per ogni questione distinta, mettendo un titolo appropriato e specificando bene cosa stai cercando di fare e quali informazioni hai.
Comunque, tornando a noi: io veramente non ho capito come hai fatto a dire che
$(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)<=|f(-pi)-f(pi)|*sqrt(epsilon)$
e sospetto che sia un errore.
post619383.html#p619383
@thedarkhero: Per evitare questi fraintendimenti le prossime volte apri un thread per ogni questione distinta, mettendo un titolo appropriato e specificando bene cosa stai cercando di fare e quali informazioni hai.
Comunque, tornando a noi: io veramente non ho capito come hai fatto a dire che
$(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-f*(x)|^2 dx)^(1/2)<=|f(-pi)-f(pi)|*sqrt(epsilon)$
e sospetto che sia un errore.
Ho pensato che il massimo scarto tra $f$ e $f^*$ è $|f(-pi)-f(pi)|$ (ma ora penso che questo non è sempre vero, giusto?) e quindi ho maggiorato l'integranda con la costante $|f(-pi)-f(pi)|$.
Lo pensavo perchè per $epsilon$ abbastanza piccolo si ha che $|f(x)-f^*(x)|$ è certamente crescente nell'intervallo $[pi-epsilon,pi]$...il punto è che non lo è per tutti gli $epsilon$.
Lo pensavo perchè per $epsilon$ abbastanza piccolo si ha che $|f(x)-f^*(x)|$ è certamente crescente nell'intervallo $[pi-epsilon,pi]$...il punto è che non lo è per tutti gli $epsilon$.
Infatti è proprio quello che non mi convinceva. Questa cosa
Però la soluzione è vicina. Prendi l'integrale che dicevo prima:
Lo pensavo perchè per $epsilon$ abbastanza piccolo si ha che $|f(x)-f^*(x)|$ è certamente crescente nell'intervallo $[pi-epsilon,pi]$non so neanche se sia vera (non credo). E non è questione di "epsilon sufficientemente piccolo". Secondo me esistono funzioni continue per cui ciò è falso per tutti gli epsilon, contrariamente a quanto ci suggerisce l'intuizione basata su ciò che disegniamo su carta.
Però la soluzione è vicina. Prendi l'integrale che dicevo prima:
\[\lVert f-f^\star\rVert_2^2=\int_{\pi-\varepsilon}^\pi\lvert f(x)-f(\pi-\varepsilon)-(f(\pi)-f(\pi-\varepsilon))x\rvert^2\, dx.\]La più brutale delle stime che ti può venire in mente funziona: prova.
$int_{pi-epsilon}^{pi} |f(x)-f(pi-epsilon)-(f(pi)-f(pi-epsilon))x|^2 dx <=$
$int_{pi-epsilon}^{pi} ||f(x)-f(pi-epsilon)-(f(pi)-f(pi-epsilon))x||_(oo)^2 dx <=$
$ ||f(x)-f(pi-epsilon)-(f(pi)-f(pi-epsilon))x||_(oo)^2*epsilon$
ma in questo modo non riesco ad andare oltre...
$int_{pi-epsilon}^{pi} ||f(x)-f(pi-epsilon)-(f(pi)-f(pi-epsilon))x||_(oo)^2 dx <=$
$ ||f(x)-f(pi-epsilon)-(f(pi)-f(pi-epsilon))x||_(oo)^2*epsilon$
ma in questo modo non riesco ad andare oltre...
Ma si che ci riesci. Hai finito. Perché?
Essendo f continua posso concludere che quella norma infinito è una costante finita e quindi ho concluso?
Esatto.
Ma non dipende anche da $epsilon$?
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