Densità dei polinomi nelle funzioni continue
Definisco $P_n$ come l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a $n$.
Come posso mostrare che $uuu_nP_n$ è denso in $(C[a,b],||*||_2)$?
In teoria si potrebbe mostrare che la chiusura di $uuu_nP_n$ è esattamente $(C[a,b],||*||_2)$, ovvero che per ogni funzione $f\inC[a,b]$ esiste una successione di polinomi ${p_i}_(i\inNN)$ tale che $p_i\inP_iAAi\inNN$ e che il limite di questa successione è proprio $f$, ma come posso dimostrarlo?
Come posso mostrare che $uuu_nP_n$ è denso in $(C[a,b],||*||_2)$?
In teoria si potrebbe mostrare che la chiusura di $uuu_nP_n$ è esattamente $(C[a,b],||*||_2)$, ovvero che per ogni funzione $f\inC[a,b]$ esiste una successione di polinomi ${p_i}_(i\inNN)$ tale che $p_i\inP_iAAi\inNN$ e che il limite di questa successione è proprio $f$, ma come posso dimostrarlo?
Risposte
Si, mi sono espresso male, la fretta... In realtà quella norma infinito dipende da \(\epsilon\). Ma puoi darne una stima globale, valida per ogni \(\epsilon\le 2\pi\) (quanto basta perché \(\pi-\epsilon \ge -\pi\)). Come si fa? Fallo tu, è facile. Basta riflettere un po' e usare la disuguaglianza triangolare come una zappa. Tanto non ci interessano stime precise.
Scusa, torno un secondo a un passo precedente.
Come abbiamo definito $r(x)$?
A me risulta $r(x)=(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(pi)-f(pi-epsilon))/epsilonpi$
Di conseguenza la norma infinito da maggiorare sopra viene tutt'altra cosa.
Dove mi sono perso?
Come abbiamo definito $r(x)$?
A me risulta $r(x)=(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(pi)-f(pi-epsilon))/epsilonpi$
Di conseguenza la norma infinito da maggiorare sopra viene tutt'altra cosa.
Dove mi sono perso?
Quella cosa l'avevo introdotta io... dici che ho sbagliato? Può essere benissimo. Comunque, la sostanza non cambia: alla fine della fiera la distanza tra \(f\) e \(f^\star\) è un integrale su un intervallo lungo \(\epsilon\) e di una funzione che si può stimare con
\[\text{(qualche costante)}\max_{x\in [-\pi, \pi]}\lvert f(x)\rvert.\]
\[\text{(qualche costante)}\max_{x\in [-\pi, \pi]}\lvert f(x)\rvert.\]
Si ma io ho
$(\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-f^*(x)|^2 dx)^(1/2)=$
$=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-g(x)|^2 dx)^(1/2)=$
$=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|^2 dx)^(1/2)<=$
$<=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} ||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)^2 dx)^(1/2)=$
$=(||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)^2*epsilon)^(1/2)=$
$=||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)*epsilon^(1/2)<=$
$<=[||f(x)||_(oo)+||(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx||_(oo)+||f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)]epsilon^(1/2)=$
$=[||f(x)||_(oo)+|(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|pi+|f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|]epsilon^(1/2)$
ma dalla parentesi quadra non riesco a far sparire la $epsilon$...
$(\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-f^*(x)|^2 dx)^(1/2)=$
$=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-g(x)|^2 dx)^(1/2)=$
$=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} |f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|^2 dx)^(1/2)<=$
$<=(\int_{\pi-epsilon}^{\pi} ||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)^2 dx)^(1/2)=$
$=(||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)^2*epsilon)^(1/2)=$
$=||f(x)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx+f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)*epsilon^(1/2)<=$
$<=[||f(x)||_(oo)+||(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilonx||_(oo)+||f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon||_(oo)]epsilon^(1/2)=$
$=[||f(x)||_(oo)+|(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|pi+|f(-pi)-(f(-pi)-f(pi-epsilon))/epsilon|]epsilon^(1/2)$
ma dalla parentesi quadra non riesco a far sparire la $epsilon$...
Mannaggia a me che ho sbagliato l'espressione di \(r(x)\), prima. Guarda, concludere l'esercizio è una cavolata completa. Abbiamo detto che
\[f^\star(x)=\begin{cases} f(x) & x \le \pi-\varepsilon \\ r(x) & x > \pi-\varepsilon \end{cases}\]
dove \(r(x)\) è l'interpolante lineare tra \((\pi-\varepsilon, f(\pi-\varepsilon))\) e \((\pi, f(\pi))\) (i.e. l'unico polinomio di primo grado il cui grafico intercetta questi due punti del piano), quindi
\[\lvert r(x)\rvert \le \max( \lvert f(\pi-\varepsilon)\rvert, \lvert f(\pi)\rvert ) \le M\]
dove \(M\) è una costante tale che \(\lvert f(x)\rvert \le M.\) Allora
\[\int_{\pi - \varepsilon}^\pi \lvert f(x)-r(x)\rvert^2\, dx\le \int_{\pi-\varepsilon}^\pi \left(\lvert f(x)\rvert + \lvert r(x)\rvert\right)^2\, dx \le \int_{\pi-\varepsilon}^\pi(2M)^2\, dx=\varepsilon\cdot \text{costante}.\]
Questo era il ragionamento a cui stavo puntando prima. Purtroppo a causa di quella espressione sbagliata per \(r(x)\) ho finito per attirare l'attenzione su dettagli di nessuna importanza come l'epsilon a denominatore e via discorrendo.
\[f^\star(x)=\begin{cases} f(x) & x \le \pi-\varepsilon \\ r(x) & x > \pi-\varepsilon \end{cases}\]
dove \(r(x)\) è l'interpolante lineare tra \((\pi-\varepsilon, f(\pi-\varepsilon))\) e \((\pi, f(\pi))\) (i.e. l'unico polinomio di primo grado il cui grafico intercetta questi due punti del piano), quindi
\[\lvert r(x)\rvert \le \max( \lvert f(\pi-\varepsilon)\rvert, \lvert f(\pi)\rvert ) \le M\]
dove \(M\) è una costante tale che \(\lvert f(x)\rvert \le M.\) Allora
\[\int_{\pi - \varepsilon}^\pi \lvert f(x)-r(x)\rvert^2\, dx\le \int_{\pi-\varepsilon}^\pi \left(\lvert f(x)\rvert + \lvert r(x)\rvert\right)^2\, dx \le \int_{\pi-\varepsilon}^\pi(2M)^2\, dx=\varepsilon\cdot \text{costante}.\]
Questo era il ragionamento a cui stavo puntando prima. Purtroppo a causa di quella espressione sbagliata per \(r(x)\) ho finito per attirare l'attenzione su dettagli di nessuna importanza come l'epsilon a denominatore e via discorrendo.
Tutto chiarissimo, grazie! 
Per raffinare ancora di più la stima posso dire che la costante che tu hai chiamato $M$ è proprio $||f||_(oo)$?
Se è così ti devo una birra e ti lascio in pace per un po
Per raffinare ancora di più la stima posso dire che la costante che tu hai chiamato $M$ è proprio $||f||_(oo)$?
Se è così ti devo una birra e ti lascio in pace per un po
Si ma non ti fissare troppo con quel simbolo. Mettiamola così: come costante \(M\) possiamo prendere \(\lVert f \rVert_{\infty}\), che è il max di \(\lvert f\rvert \) su \([\pi, \pi]\), ma anche qualsiasi costante più grande va benissimo.
Grazie mille! 
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