Delucidazioni su quesiti di Analisi

[Ov3rlord1]

Salve ragazzi, premetto che sto incontrando un po' di difficoltà con le formule del forum, quindi più giù vi allego un'immagine dell'esercizio (ho letto il regolamento, se non dovesse andare bene ditemelo che modifico). Volevo sapere come si fa esattamente a stabilire l'integrabilità di una funzione monotòna o continua senza avere un intervallo di riferimento.
Inoltre, nei quesiti 1b, 1c non ho capito se devo fare l'integrale di entrambe le funzioni su quell'intervallo, o vanno svolti in un ordine particolare. Diciamo che il mio prof non è dei migliori, e avrei bisogno di alcune delucidazioni sui primi tre esercizi e relativi punti (non la risoluzione, ma una semplice spiegazione su cosa quei punti mi chiedono). Grazie in anticipo.

EDIT: Se l'immagine non è visualizzata bene apritela in un'altra scheda

NB. Non è un compito che sto svolgendo , è materiale che ho io per esercitarmi.

[pilloeffe]

Ciao Ov3rlord,

Benvenuto sul forum. Non sono un moderatore, ma ti dico subito che di esordi ne ho visti di migliori, per almeno 3 buoni motivi:

1) Invece di scrivere le formule come previsto dal sito (ti assicuro che non è poi così difficile, basta che guardi come si fa in questo link) hai caricato un'immagine che non si vede bene completa e costringi a scaricarla chi sarebbe anche ben intenzionato a risponderti: la tua riluttanza a seguire il regolamento del forum ha indotto un'analoga riluttanza a risponderti negli utenti del forum...
2) Hai scritto

"Ov3rlord":Diciamo che il mio prof non è dei migliori

su un sito dove è probabile che di professori ce ne siano parecchi: quello che hai scritto potrebbe aver urtato la sensibilità di più di qualche utente...
3) Hai scritto 3 domande e le relative possibili risposte (a proposito: le risposte ai quesiti sono tutte false ed una sola è vera o può essercene anche più di una vera? Non l'hai specificato) in un unico post: se vuoi aumentare le probabilità di ottenere una risposta, ti consiglio caldamente di dividerle in 3 post diversi...

Facciamo così: io ti faccio vedere come si scrive il primo e tu, da bravo, fai lo stesso con gli altri due (puoi copiare quello che ti ho scritto io col pulsante destro del mouse, scegliendo Show Math As > AsciiMath Input) e produci due post ognuno con una sola delle restanti due questioni.

1) Sia

$f(x) = {(- 4x - 2, \text{se } x \ge 0),(- 3x + 3, \text{se } x < 0):}$

1a) La funzione $f$, essendo monotona, è integrabile.
Risposta 1a) In linea di principio potrebbe anche essere vero, ma non è specificato dove, cioè l'intervallo: ad esempio nel caso dell'intervallo $[0, +\infty)$ l'affermazione è falsa.
1b) L'integrale di $f$ su $[-1, 1]$ è negativo.
Risposta 1b) Qui basta fare i calcoli e vedere se è vero:

$\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (-3x + 3) dx + \int_{0}^{1} (- 4x - 2) dx = \frac{9}{2} + (- 4) =$
$ = 0,5 > 0$
Concludiamo che l'affermazione è falsa.
1c) L'integrale di $f$ su $[-1, 0]$ è positivo
Risposta 1c) Dalla risposta alla domanda 1b) si vede subito che è vero.
1d) Se $F(x) = \int_{x}^{0} f(t) dt$, allora $F(1) \ge 0$.
Risposta 1d) $F(1) = \int_{1}^{0} f(t) dt = - \int_{0}^{1} f(t) dt = - (- 4) = 4 > 0$.

[Seneca1]

"pilloeffe":
2) [...]
su un sito dove è probabile che di professori ce ne siano parecchi: quello che hai scritto potrebbe aver urtato la sensibilità di più di qualche utente...
3) [...] se vuoi aumentare le probabilità di ottenere una risposta, ti consiglio caldamente di dividerle in 3 post diversi...

Sulle formule mi trovi pienamente d'accordo. Non lo sono per quanto riguarda il punto 2). Infatti i pessimi docenti esistono (come esistono quelli in gamba); non vedo ragioni perché altri professori debbano sentirsi offesi per questo fatto della vita. Da tenere comunque presente i punti 3.15, 3.16 del [regolamento]regolamento[/regolamento]...

Inoltre più che spezzare il post in tre messaggi consecutivi spezzerei il thread in tre discussioni, ciascuna riferita ad un diverso quesito (forse intendevi proprio questo).

[Ov3rlord1]

Grazie per le risposte. Per quanto riguarda il fatto dei professori non credo di aver offeso nessuno, dato che, come dice Seneca, i docenti che non fanno questo lavoro con dedizione ci sono. Non parlarne non li elimina.
Sono più che convinto che i docenti presenti su questo forum siano più che lontani da quella categoria, dato che fornire aiuto gratuito a degli sconosciuti su internet è sufficiente per escludere qualsiasi nota negativa sul loro "modus operandi" quando sono in cattedra.
Ma tornando a noi, provo ad usare le formule per proporvi il terzo quesito in foto. Le risposte sono vero/falso ovviamente motivati. Possono essere tutte vere, tutte false, o alterne.

sia $ f(x) = xcos(x) $

1. Si ha $ P1(f(x),0) = -x $
2. Si ha $ P2(f(x),0) = x $
3. Si ha $ lim (f(x) - [x - x^3/2])/x^3 = 1/3 $ con x --> 0
4. Si ha $ \sum_{k=0}^∞ ((-1)^k)/(2k + 1)! + x^(2k+2) $

Vorrei sapere come va risolto, se potete armarvi di pazienza e spiegare dettagliatamente tutti i punti ve ne sarei davvero grato.

[ciampax]

Suppongo che con $P_n(f(x);0)$ intenda il polinomio di McLaurin di grado $n$. Direi, allora, che la cosa più conveniente è proprio quella di scriversi lo sviluppo generale della funzione data. Dal momento che
$$\cos x=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n})$$
ne segue
$$f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})$$
Ne risulta allora
$$P_1(f(x);0)=x\qquad P_2(f(x);0)=x$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-(1-x^3/6)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x^3/2-1+x^3/6+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{x^3}=\pm\infty$$

Per cui direi che solo la risposta 3a) va bene.

[Ov3rlord1]

Non ho ben capito cosa succede qui:
$ f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}) $

e di conseguenza perchè i polinomi sono entrambi uguali a $ x $.
Inoltre, nel limite, hai sostituito gli sviluppi della serie $ x $ e $ cos(x) $? Fino a che grado?

[ciampax]

Per calcolare i polinomi al grado scelto, basta fermarsi al valore del $k$ giusto.Per cui, per avere $2k+1=1$ basta fermarsi a $k=0$ e vedere cosa viene fuori. Idem, per avere $2k+1=2$, dovresti fermarti a $k=1/2$, ma visto che i $k$ sono interi devi di nuovo usare solo $k=0$.
Nel limite ho sostituito fino al terzo grado (del resto ho messo un $o(x^3)$.

[Ov3rlord1]

Si, il problema è che non riesco a collegare questo:
$ \cos x=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n}) $

a questo $ f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}) $

e di conseguenza a $ P(f(x);0) $
in soldoni non capisco come hai fatto a calcolare il polinomio

[Seneca1]

Non è nulla di concettualmente difficile. \[ f(x) = x \cos x = x \left ( \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n}) \right ) \] e a questo punto applichi la distributività e le proprietà dell'o-piccolo.

[Ov3rlord1]

Ok, quindi per risolvere il polinomio di maclaurin devo fare riferimento agli sviluppi di Taylor per $ x $ e $ cos(x) $ ?
Ragazzi davvero, sono impedito proprio con questa cosa qui.
Non capisco nella maniera più assoluta come ha fatto a far uscire dallo sviluppo di $ cos(x) $ che $P1(f(x);0) = x $ e $ P2(f(x);0) = x) $

Poi un'altra cosa:
$ f(x) = \sum_{k=0}^∞ (2k + 1)/(3^k) x^(2k) $

qui mi chiede, dopo aver determinato l'insieme di convergenza, di calcolare esplicitamente una primitiva $ F $ di $ f $ e quindi $ f $. Che intende per insieme di convergenza e che intende per primitiva $ F $.. vuole l'integrale?

[pilloeffe]

Ciao Ov3rlord,

Ho notato che hai imparato a scrivere le formule... Bravo. Il post è già molto lungo e molto visitato (concedimelo, un po' anche per merito mio che inizialmente ho smosso un po' le acque... ) e fra l'altro con uno dei 3 esercizi che hai proposto ancora in sospeso... Ora, non è che per "un'altra cosa" potresti cortesemente aprire un apposito thread intitolandolo magari chessò "Insieme di convergenza ed altre questioni sulla serie $\sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k + 1)x^{2k}}{3^k}$"? Guarda, se lo fai ti prometto che ti rispondo (non proprio subito eh, sono in trasferta a Venezia e ti sto scrivendo dall'hotel che ha il Wi-Fi... )

[Ov3rlord1]

Aprirò un altro post sulla serie posta in essere nel post precendente. Intanto resta in sospeso la questione dei polinomi di MacLaurin... non capisco come avete risolto la funzione $ x cos(x) $ ed i suoi punti. Attendo ancora..

[ciampax]

Ho fatto la moltiplicazione.
Poi ho cercato i valori di $k$ per arrivare alla potenza che mi viene richiesta.

[pilloeffe]

Ciao Ov3rlord,

Provo a cercare di indovinare cos'è che non hai capito, fermo restando che ciampax ti ha già risposto correttamente. Forse il passaggio che "ti manca" è il seguente:

$f(x) = P_{2n + 1}(f(x); 0) + o(x^{2n+1})$

ove $P_{2n + 1}(f(x); 0) := \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k)!}$ è il polinomio di Colin Maclaurin di grado $2n + 1$ di $f(x)$: significa che se si approssima la funzione $f(x)$ col polinomio $P_{2n + 1}(f(x); 0)$ si commette l'errore dato da $o(x^{2n+1})$. La notazione $P_{2n + 1}(f(x); 0)$ non mi entusiasma, ma tant'è...
Premesso quanto sopra, se è richiesto $P_{1}(f(x); 0)$, significa che è richiesto il polinomio di Colin Maclaurin di grado $1$ della funzione $f(x)$: quindi la sommatoria della definizione di cui sopra "non parte neanche" (va da $k = 0$ a $n = 0$...) e basta considerare il termine per $k = 0$:

$P_{1}(f(x); 0) = (-1)^0 \frac{x^{2\cdot 0 +1}}{(2\cdot 0)!} = x$

D'altronde è anche vero che si ha $P_{2}(f(x); 0) = x$, perché $f(x)$ ha solo le potenze dispari della $x$, per cui dopo $x$ c'è $x^3$. Se ad esempio ti fosse stato chiesto $P_{3}(f(x); 0)$:

$P_{3}(f(x); 0) = \sum_{k=0}^1 (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k)!} = (-1)^0 \frac{x^{2\cdot 0 +1}}{(2\cdot 0)!} + (-1)^1 \frac{x^{2\cdot 1 +1}}{(2\cdot 1)!} = x - frac{x^3}{2}$

Mi auguro di essere stato chiaro.