Delucidazioni su o piccolo

[mikidida]

Salve a tutti, sono nuovo del Forum e spero di rimanere in linea con le regola della community e di trovare aiuto da voi che siete sicuramente più esperti di me.
Detto questo, volevo chiedere delle delucidazioni a proposito di uno dei simboli di Landau o piccolo.
Compresa la definizione di o piccolo, ho letto sul libro di analisi che non sempre è possibile risolvere forme indeterminate di limiti attraverso stime asintotiche.
Il testo mi fornisce anche un esempio
lim x->0 $(ln(1+3x)-3sin(x+x^2))/x^2$

Se risolvessimo questo limite con gli asintotici, infatti, saremmo portati ad affermare che questo valga 0, ma in realtà così non è. Poi pone:
$ln(1+3x)= 3x+o(x)$
$sin(x+x^2)=x+o(x)$
e conclude dicendo che
lim x->0 $(ln(1+3x)-3sin(x+x^2))/x^2$ = $(3x+o(x)-3x+o(x))/x^2$ = $(3x-3x+o(x))/x^2$ = $(o(x))/x^2$
e a questo punto afferma che del suddetto rapporto non possiamo dire niente perché non possiamo proseguire il conto.
E' proprio qui che sorgono i miei dubbi. Perché non possiamo dire nulla su $(o(x))/x^2$?
Sfogliando l'eserciziario noto che l'autore afferma che $(o(x))/x$=0 (per x->0).
Per quale motivo non possiamo risolvere percorrendo questa via il limite?
Grazie per le (sperate) future risposte

[Rigel1]

Hai che, ad esempio, \(x^{3/2} = o(x)\) e, analogamente, \(x^3 = o(x)\). Se fai il limite di queste due funzioni, divise per \(x^2\), per \(x\to 0\), vedi bene che ottieni risultati molto diversi.

Per approfondimenti puoi consultare il tutorial sui simboli di Landau (sticky in questo forum).