Delucidazione su limite in senso debole

[calolillo]

Salve a tutti!
Oggi mi sono imbattuto in un esercizio apparentemente non troppo difficile ma sono stato assalito da un dubbio...
Ecco intanto il testo e come ho provato a risolverlo:
"Calcolare il limite debole della successione $q_n(x)=nq(nx)$ in cui $q(x)=1/2cos(x)\chi_([-\pi/2,\pi/2])(x)$ e dove $\chi(x)_A={(1, x in A ),(0 ,a"lt"rove):}"
Per limite debole intendiamo il limite nel senso delle distribuzioni.
Io ho operato così
$ lim_(n -> oo) int_(-oo)^(oo) q_n(x)f(x)dx=lim_(n -> oo) int_(-pi/(2n))^(pi/(2n)) 1/2ncos(nx)f(x)dx =lim_(n -> oo) 1/2n(pi/(2n)-(-pi/(2n))cos(nxi_n)f(xi_n) $ per qualche $\xi_n$ interno all'intervallo $[-\pi/(2n),\pi/(2n)]$ (Teorema della media)
**
A questo punto ho continuato scrivendo
$ lim_(n -> oo) int_(-oo)^(oo) q_n(x)f(x)dx = pi/2cos(0)f(0)=pi/2 f(0)$
Per cui il risultato sarebbe, in senso debole,
$lim_(n -> oo)q_n(x)=pi/2\delta(x)$

Ma al passaggio ** l'argomento del coseno non è una forma indeterminata $0*oo$? Come si procede in questo caso? Io ho pensato che comunque $\xi_n$ fa tendere a 0 l'argomento del coseno ma non ne sono del tutto sicuro...qualche delucidazione?

[dissonance]

Non ho capito come hai fatto ad applicare il teorema della media. Non mi convince troppo, infatti. Mi sa che stai applicando questo teorema:

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_media_pesata

ma se è così non va bene perché il coseno cambia segno. Mi sbaglio?

[calolillo]

Mmm, no in realtà mi riferisco a questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _integrale
Esisterà $ cin[a,b] $ tale che $ g(c)=(b-a)int_(a)^(b) g(x)dx $
Nel nostro caso $c=\xi_n$, $g(x)=cos(nx)f(x)$, $a=-pi/(2n)$, $b=pi/(2n)$

[calolillo]

Un modo forse migliore di procedere è effettuare il cambio di variabile $y=nx$, in questo modo gli estremi non dipendono da n, la convergenza dovrebbe essere uniforme, il che se non ricordo male dovrebbere essere l'ipotesi per cui è possibile portare il limite dentro l'integrale, e fatto questo si dovrebbe arrivare subito al risultato...
Ma mi resta il dubbio se questo modo di procedere sia giusto o meno e soprattutto come "trattare" la forma indeterminata...

[Rigel1]

Anche io farei il cambio di variabile $y=nx$ proposto da calolillo.
Ottieni infatti
$\int_{\mathbb{R}} q_n(x) f(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} q(y) f(\frac{y}{n}) dy \to f(0) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} q(y) dy$.
Il passaggio al limite lo puoi fare, ad esempio, osservando che $g_n(y) = q(y) f(\frac{y}{n})$ converge uniformemente a $q(y) f(0)$.

[calolillo]

Siamo d'accordo Rigel.
Il risultato è pure diverso dal primo procedimento quindi direi che la cosa che "puzza" e che non consente di andare avanti è proprio quella forma indeterminata...o sbaglio da qualche altra parte?

[Rigel1]

Il problema del tuo primo procedimento sta nel fatto che nessuno ti garantisce che $n\xi_n\to 0$; l'unica cosa che sai è che $|n\xi_n| < \pi/2$.
Comunque, se vuoi fare un controllo di massima, ti basta prendere $f$ costante in $A$.