Delucidazione limite

[francicko]

$lim_(x->0)(log(e^x-x-x^2))/(x^2)$ , da qualche parte ho visto dare il seguente svolgimento che non credo sia esatto:
$=lim_(x->0)(log(e^x×(1-x/e^x-x^2/e^x)))/(x^2) $ $=lim (log (e^x)+log(1-x-x^2))/(x^2)$ $=lim (x-x-3(x^2)/2)/(x^2)=-3/2$, ma il risultato a me viene $-1/2$, a mio parere questo procedimento fa perdere delle informazioni ed e' fuorviante, magari mi sbaglio, sapreste darmi qualche delucidazione a riguardo?
Grazie!!

[xAle2]

Ciao,
semplicemente non puoi passare al limite solo alcuni "pezzi" e poi continuare a svolgere l'esercizio come se nulla fosse. Molte volte questo tipo di risoluzione non compromette il risultato ma è sbagliata e molto pericolosa (come vedi). Fai molta qttenzione

[francicko]

xAle.
Grazie per la risposta!
Infatti sono daccordo solo che nel caso di alcuni limiti effettivamente conduce al corretto risultato,
Per esempio $lim(x->0)(log(e^x-x^2)-x)/x^2$ $=lim(log(e^x)+log (1-x^2)-x)/(x^2)$ $=lim (x-x^2-x)/x^2=-1$

[xAle2]

Questo tuo ultimo limite mi sembra "abbastanza" corretto. Secondo te qual è il passaggio non lecito?

P.s. Conosci gli sviluppi di Taylor?

[francicko]

Sì conosco gli sviluppi di taylor.
La cosa che m lascia perplesso e' che sia nel limite precedente che in quest'ultimo le operazioni che si eseguono sono le medesime e sfruttano le proprietà dei logaritmi eppure il risultato nel caso precedente non e' corretto, non riesco a trovare una giustificazione!

[xAle2]

Cerco di farti capire il concetto. Nel primo limite, da quanto intuisco, hai passato al limite $e^x$ che per $x->0$ è $1$ e poi hai continuato con lo svolgimento. Questo non è lecito, per il semplice fatto che possono essere mostrati molti controesempi (come il tuo). Nel secondo limite, in un certo senso, hai usato un limite notevole o meglio una stima asintotica (manca l'errore, cioè l'o-piccolo). I limiti notevoli e le coseguenti stime asintotiche sono casi particolari di Sviluppi di Taylor. Alcune volte non basta fermarsi al primo grado di sviluppo e bisogna approfondire il comportamento della funzione. Ti lascio qui un esempio da provare a svolgere

$ lim_(n -> +infty)-n+2nsqrt(n^2+n)-2n^2 $

[francicko]

x@Ale.
Ottima spiegazione!

[xAle2]

Grazie Hai provato a svolgere il limite che ti ho lasciato? È molto istruttivo...

[francicko]

$lim_(n->infty)-n+nsqrt (n^2+n)-n^2$ $=lim_(n->infty)-n+nsqrt (n^2×(1+1/n))-n^2$ ed essendo che $1/n->0$, $=lim_(n->infty)-n+n×sqrt (n^2)-n^2$ $=lim_(n->infty)n+n×n-n^2$ $=lim_(n->infty)-n
+n^2-n^2$ $=lim_(n->infty)-n=-infty $
Sì hai ragione!
$lim_(n->infty)-n+n×sqrt(1-1/n)-n^2=$ $lim_(n->infty)-n+n^2×(1+sqrt (1+1/n)-1)$ $=-n+n×(1+1/(2n))$ $=-n+n+1/(2n)=0$, essendo che entra in gioco l'asintotico, $sqrt(1+1/n)~(1+1/(2n))$

[xAle2]

Non è corretto. Rivedi i tuoi passaggi alla luce di quello di cui abbiamo discusso in questo post. Ti aiuto dicendoti che deve venire un valore finito!

Edit
Ancora non è giusto. Devi pensare oltre le stime asintotiche

[francicko]

Sì c'e' il coinvolgimento di termini superiori al primo grado, pertanto ci vuole uno sviluppo asintotico più raffinato:
Il termine successivo dello sviluppo che ci serve e' il seguente:
$-1/(8n^2) $
il limite diventa:
$lim_(n->infty)-n+2n^2(1+1/(2n)+1/(16n^2)-1)$ $=lim_(n->infty)-n+2n^2 (1/(2n)-1/(8n^2))$ $=lim_(n->infty)(-n+n-1/4)=-1/4$

[xAle2]

Ora è giusto