Delta Kronecker, Delta di Dirac
Buongiorno, scusate il disturbo e la domanda forse banale.
Dove posso trovare una dimostrazione formale per passare dalla delta di Kronecker alla delta di Dirac?
Dove posso trovare una dimostrazione formale per passare dalla delta di Kronecker alla delta di Dirac?
Risposte
Dimostrazione di cosa, esattamente?
Ciao vivi96,
Non so bene cosa intendi per "dimostrazione formale" (come ha scritto dissonance, di che cosa?), ma provo a risponderti così...
Una proprietà importante che si vuole che sia valida per la "funzione" delta di Dirac è la seguente:
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x_0 - x) \text{d}x = f(x_0) $
Quest'identità è esattamente la forma in cui storicamente è comparsa la "funzione" $\delta $ che ha poi dato il via alle idee di base della teoria delle distribuzioni, che è la teoria che dà un senso alla delta di Dirac nella matematica contemporanea.
Si può notare l'analogia tra la formula scritta e quella che vale in algebra lineare (e che, a differenza di quella riportata poc'anzi, non ha alcunché di misterioso): se $\delta_{ij} $ è la $\delta$ di Kronecker (che vale $1$ per $i = j$ e $0$ per $i \ne j$), allora per ogni funzione $f(j)$ definita per $j = 1, 2, ..., n $ si ha:
$\sum_{i = 1}^n f(i) \delta_{ij} = f(j) $
Così come $ \delta_{ij} $ è diversa da zero solo per $i = j$, $\delta(x_0 - x) $ è diversa da zero solo per $x = x_0$
Non so bene cosa intendi per "dimostrazione formale" (come ha scritto dissonance, di che cosa?), ma provo a risponderti così...
Una proprietà importante che si vuole che sia valida per la "funzione" delta di Dirac è la seguente:
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x_0 - x) \text{d}x = f(x_0) $
Quest'identità è esattamente la forma in cui storicamente è comparsa la "funzione" $\delta $ che ha poi dato il via alle idee di base della teoria delle distribuzioni, che è la teoria che dà un senso alla delta di Dirac nella matematica contemporanea.
Si può notare l'analogia tra la formula scritta e quella che vale in algebra lineare (e che, a differenza di quella riportata poc'anzi, non ha alcunché di misterioso): se $\delta_{ij} $ è la $\delta$ di Kronecker (che vale $1$ per $i = j$ e $0$ per $i \ne j$), allora per ogni funzione $f(j)$ definita per $j = 1, 2, ..., n $ si ha:
$\sum_{i = 1}^n f(i) \delta_{ij} = f(j) $
Così come $ \delta_{ij} $ è diversa da zero solo per $i = j$, $\delta(x_0 - x) $ è diversa da zero solo per $x = x_0$
"pilloeffe":
Così come $ \delta_{ij} $ è diversa da zero solo per $i = j$, $\delta(x_0 - x) $ è diversa da zero solo per $x = x_0$
Ah... E quanto vale in $x_0$?
@vivi96:
Visto che da questo tuo post mi pare di capire che stai studiando meccanica quantistica, ho trovato in rete anche queste appendici che potrebbero interessarti, in particolare l'Appendice A e l'Esempio A.2 alle pagine 563 e 564.
Visto che da questo tuo post mi pare di capire che stai studiando meccanica quantistica, ho trovato in rete anche queste appendici che potrebbero interessarti, in particolare l'Appendice A e l'Esempio A.2 alle pagine 563 e 564.
Ciao grazie mille per le risposte, no in realtà sto studiando un caso particolare di teoria quantistica di campo e questa domanda si riferiva al fatto che i commutatori di QFT hanno una delta di Dirac, mentre gli operatori di mq hanno la delta di Kronecker. Gli operatori di QFT sono definiti su uno spazio continuo, ora se considero un campo scalare quantizzato e il suo complesso coniugato e il fisso un punto nello spazio, ritornano ad essere i soliti operatori della meccanica quantistica posizione e impulso. Quindi i commutatori tra i due operatori adesso hanno di nuovo una delta di Kronecker, e mi chiedevo se ci fosse qualche fattore di mezzo da aggiungere (tipo $(2\pi)^{3}$), ma forse posso rifletterci un attimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo