Delta di dirac e derivata
il problema è il seguente:
ho f(t) = t^3 - t
e devo calcolare la derivata quarta di |f(t)|
(per non far troppo casino con le parentesi uso f(t)=f e &=delta di Dirac)
scrivo quindi |f| = sign (f) * f
quando calcolo la derivata prima il libro mi semplifica completamente il termine f*(d sign (t)) / dt
cioè mette
(t^3-t)(2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1))=0
questo perchè la funzione in quei punti vale 0 o per quale motivo ?
dubbio 2: al passaggio seguente scrive
(3t^2)(2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)) = 4&(t+1) + 2&(t) + 4&(t-1)
questa proprio non la capsico..
grazie mille!
Francesco
Modificato da - goblyn il 13/11/2003 01:03:13
ho f(t) = t^3 - t
e devo calcolare la derivata quarta di |f(t)|
(per non far troppo casino con le parentesi uso f(t)=f e &=delta di Dirac)
scrivo quindi |f| = sign (f) * f
quando calcolo la derivata prima il libro mi semplifica completamente il termine f*(d sign (t)) / dt
cioè mette
(t^3-t)(2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1))=0
questo perchè la funzione in quei punti vale 0 o per quale motivo ?
dubbio 2: al passaggio seguente scrive
(3t^2)(2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)) = 4&(t+1) + 2&(t) + 4&(t-1)
questa proprio non la capsico..
grazie mille!
Francesco
Modificato da - goblyn il 13/11/2003 01:03:13
Risposte
caro france
per comprendere il perché di alcune cose è necessario ricordare la definizione [o meglio una delle tante definizioni…] della funzione delta di Dirac…
Consideriamo la funzione…
Fe(t)= 1/e per 0<=t<=e… = 0 altrove [1]
E’ evidente che per ogni valore di e vale la relazione…
Int [-00
Alla fine degli anni venti il fisico inglese Dirac, uno dei ‘papà’ della fisica quantistica, ha ipotizzato l’esistenza di una funzione &(t) che è il limite di Fe(t) per e->0. Matematicamente parlando una funzione del genere non ha senso. Il suo uso tuttavia consente di rendere semplici alcuni passaggi matematici che sarebbe arduo trattare in modo ‘rigoroso’. Tra le sue proprietà vi è anche quella di essere la derivata della funzione di Heavside, definita come…
U(t-a)= 0 per ta [3]
… vale a dire è…
d/dt U(t-a) = & (t-a) [4]
Chiaramente anche la funzione sign [f(t)] si comporta in maniera simile e se t1, t2,…, tn sono gli zeri di f(t) la derivata di sign[f(t)] sarà…
d/dt sign [f(t)] = Sum [1<=i<=n] +/- 2* &(t-ti) [4]
… ove il segno + è usato nella sommatoria se f(t) passa da valori negativi a valori positivi, il segno – in caso contrario.
Ora le formule da te segnalate dovrebbero essere chiare. La prima espressione risulta infatti…
f(t)*d/dt sign [f(t)] = f(t)*[2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)] = 2 f(-1)*&(t+1)-2f(0)*&(t)+2f(1)*&(t-1)=0 [5]
La seconda espressione penso sia errata poiché dovrebbe corrispondere al prodotto d/dt f(t)*d/dt sign [f(t)]. Ora d/dt (t^3-t) è uguale a 3t^2-1 e non a 3t^2 per cui sarà…
d/dt f(t)*d/dt sign [f(t)] = f’(t)*[2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)] =
= 2 f’(-1)*&(t+1)-2f’(0)*&(t)+2f’(1)*&(t-1)= 4&(t+1)+2&(t)+4&(t-1) [6]
… come risulta dal libro…
cordiali saluti
lupo grigio
per comprendere il perché di alcune cose è necessario ricordare la definizione [o meglio una delle tante definizioni…] della funzione delta di Dirac…
Consideriamo la funzione…
Fe(t)= 1/e per 0<=t<=e… = 0 altrove [1]
E’ evidente che per ogni valore di e vale la relazione…
Int [-00
Alla fine degli anni venti il fisico inglese Dirac, uno dei ‘papà’ della fisica quantistica, ha ipotizzato l’esistenza di una funzione &(t) che è il limite di Fe(t) per e->0. Matematicamente parlando una funzione del genere non ha senso. Il suo uso tuttavia consente di rendere semplici alcuni passaggi matematici che sarebbe arduo trattare in modo ‘rigoroso’. Tra le sue proprietà vi è anche quella di essere la derivata della funzione di Heavside, definita come…
U(t-a)= 0 per t
… vale a dire è…
d/dt U(t-a) = & (t-a) [4]
Chiaramente anche la funzione sign [f(t)] si comporta in maniera simile e se t1, t2,…, tn sono gli zeri di f(t) la derivata di sign[f(t)] sarà…
d/dt sign [f(t)] = Sum [1<=i<=n] +/- 2* &(t-ti) [4]
… ove il segno + è usato nella sommatoria se f(t) passa da valori negativi a valori positivi, il segno – in caso contrario.
Ora le formule da te segnalate dovrebbero essere chiare. La prima espressione risulta infatti…
f(t)*d/dt sign [f(t)] = f(t)*[2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)] = 2 f(-1)*&(t+1)-2f(0)*&(t)+2f(1)*&(t-1)=0 [5]
La seconda espressione penso sia errata poiché dovrebbe corrispondere al prodotto d/dt f(t)*d/dt sign [f(t)]. Ora d/dt (t^3-t) è uguale a 3t^2-1 e non a 3t^2 per cui sarà…
d/dt f(t)*d/dt sign [f(t)] = f’(t)*[2&(t+1)-2&(t)+2&(t-1)] =
= 2 f’(-1)*&(t+1)-2f’(0)*&(t)+2f’(1)*&(t-1)= 4&(t+1)+2&(t)+4&(t-1) [6]
… come risulta dal libro…
cordiali saluti
lupo grigio
AAAA!! sono proprio un po' pollo! il risultato del libro ora mi è chiaro!
grazie!
grazie!
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