Delta di dirac
la delta di dirac è localmente integrabile? è una distribuzione regolare?
Risposte
Formalmente:
$int_(-oo)^(+oo) delta(x)Phi(x) dx = Phi(0)$
viene anche denominata funzione impulso e un poco meno formalmente:
$int_(-oo)^(+oo) delta(x) dx = 1$
Ricordo che:
"Una distribuzione T si dice regolare se esiste una funzione $f$ localmente integrabile tale che, per ogni funzione $Phi$ a supporto compatto, valga:
$:= int f(x)Phi(x)dx$"
Che pare proprio possa essere la nostra funzione $delta(x)$.
$int_(-oo)^(+oo) delta(x)Phi(x) dx = Phi(0)$
viene anche denominata funzione impulso e un poco meno formalmente:
$int_(-oo)^(+oo) delta(x) dx = 1$
Ricordo che:
"Una distribuzione T si dice regolare se esiste una funzione $f$ localmente integrabile tale che, per ogni funzione $Phi$ a supporto compatto, valga:
$
Che pare proprio possa essere la nostra funzione $delta(x)$.
"ayeyye":
la delta di dirac è localmente integrabile? è una distribuzione regolare?
La delta di dirac non è una funzione quindi non ha senso parlare di funzione localmente sommabile....
"clrscr":
[quote="ayeyye"]la delta di dirac è localmente integrabile? è una distribuzione regolare?
La delta di dirac non è una funzione quindi non ha senso parlare di funzione localmente sommabile....[/quote]
si, infatti volevo la conferma che non viene considerata come una funzione.
La $delta$ è il tipico esempio di distribuzione non regolare: infatti si prova che non esiste alcuna $f\in L_(loc)^1(RR^n)$ tale che $\langle phi,delta \rangle =\int_(RR^n) phi*f" d"m$ per ogni funzione test $phi$.
Non sono ancora convinto... mi potete indirizzare su qualche approfondimento???
Grazie.
Grazie.
Ingegnere, vero Lord K? 
Si vede dal fatto che pensi alla \(\delta\) come ad una funzione...
Dim.: Denotiamo con $o$ il vettore nullo di $RR^n$ e con $m$ la misura di Lebesgue di $RR^n$.
Supponiamo che, per assurdo, esista $f\in L_(loc)^1(RR^n)$ tale che per ogni $phi in C_c^oo(RR^n)$ risulti $phi(o)=:\langle delta,phi \rangle =\int_(RR^n) f*phi" d"m$.
Per fissato $a>0$ poniamo:
$eta_n(x):=\{(e^(a^2/(|x|^2-a^2)), " se " |x|
di modo che:
1) per ogni $a>0$ si ha $\eta_a \in C_c^oo(RR^n)$, $"supp" eta_a =\bar(B)(o;a)$* e $\langle delta,eta_a \rangle =eta(o;a)=1/e$;
2) per ogni $a>0$ ed $x\in RR^n$, $|\eta_a(x)|<=1/e$;
3) per ogni $x\in RR^n$, $lim_(a\to 0^+) \eta_a(x)=\{(1/e, " se " x=o),(0, " altrimenti"):}$.
Scegliendo di far variare il parametro $a$ tra i valori della successione $(1/2^n)$, otteniamo la successione di funzioni test di termine generale $phi_n=eta_(1/2^n)$: le 1) - 3) implicano che la $(phi_n)$ gode delle seguenti proprietà:
a) per ogni $n\in NN$, $"supp" phi_n=\bar(B)(o;1/2^n)\subseteq \bar(B)(o;1)$ e $\langle delta,phi_n \rangle =eta(o;1/2^n)=1/e$;
b) per ogni $n \in NN$ ed $x\in RR^n$, $|phi_n(x)|<=1/e$;
c) per ogni $x\in RR^n$, $lim_n phi_n(x)=\{(1/e, " se " x=o),(0, " altrimenti"):}$.
Poiché, per ogni indice $n$, risulta $\int_(RR^n) f*phi_n" d"m=\int_(\bar(B)(o;1))f*phi_n" d"m$ e poiché la successione di funzioni sommabili $(f*phi_n)$ è maggiorata in modulo dalla funzione sommabile $1/e*|f|$ in $\bar(B)(o;1)$, si può applicare il Teorema della convergenza dominata per stabilire che:
$lim_n \int_(RR^n)f*phi_n" d"m=lim_n \int_(\bar(B)(o;1)) f*phi_n" d"m=\int_(\bar(B)(o;1)) f*(lim_n phi_n)" d"m=0\quad$,
la nullità dell'ultimo integrale essendo garantita dal fatto che il limite delle $phi_n$ è q.o. nullo in $RR^n$ (ed a maggior ragione in $\bar(B)(o;1)$).
Ciò però è assurdo, perchè contrasta con la seconda delle a).
__________
* Qui il simbolo $"supp"$ denota il supporto di una funzione.
Si vede dal fatto che pensi alla \(\delta\) come ad una funzione...
La $delta$ di Dirac è una distribuzione singolare, ovvero non esiste alcuna $f\in L_(loc)^1(RR^n)$ tale che $\langle delta, phi\rangle =\int_(RR^n) f*phi " d"m$ per ogni $\phi \in C_c^oo(RR^n)$.
Dim.: Denotiamo con $o$ il vettore nullo di $RR^n$ e con $m$ la misura di Lebesgue di $RR^n$.
Supponiamo che, per assurdo, esista $f\in L_(loc)^1(RR^n)$ tale che per ogni $phi in C_c^oo(RR^n)$ risulti $phi(o)=:\langle delta,phi \rangle =\int_(RR^n) f*phi" d"m$.
Per fissato $a>0$ poniamo:
$eta_n(x):=\{(e^(a^2/(|x|^2-a^2)), " se " |x|
di modo che:
1) per ogni $a>0$ si ha $\eta_a \in C_c^oo(RR^n)$, $"supp" eta_a =\bar(B)(o;a)$* e $\langle delta,eta_a \rangle =eta(o;a)=1/e$;
2) per ogni $a>0$ ed $x\in RR^n$, $|\eta_a(x)|<=1/e$;
3) per ogni $x\in RR^n$, $lim_(a\to 0^+) \eta_a(x)=\{(1/e, " se " x=o),(0, " altrimenti"):}$.
Scegliendo di far variare il parametro $a$ tra i valori della successione $(1/2^n)$, otteniamo la successione di funzioni test di termine generale $phi_n=eta_(1/2^n)$: le 1) - 3) implicano che la $(phi_n)$ gode delle seguenti proprietà:
a) per ogni $n\in NN$, $"supp" phi_n=\bar(B)(o;1/2^n)\subseteq \bar(B)(o;1)$ e $\langle delta,phi_n \rangle =eta(o;1/2^n)=1/e$;
b) per ogni $n \in NN$ ed $x\in RR^n$, $|phi_n(x)|<=1/e$;
c) per ogni $x\in RR^n$, $lim_n phi_n(x)=\{(1/e, " se " x=o),(0, " altrimenti"):}$.
Poiché, per ogni indice $n$, risulta $\int_(RR^n) f*phi_n" d"m=\int_(\bar(B)(o;1))f*phi_n" d"m$ e poiché la successione di funzioni sommabili $(f*phi_n)$ è maggiorata in modulo dalla funzione sommabile $1/e*|f|$ in $\bar(B)(o;1)$, si può applicare il Teorema della convergenza dominata per stabilire che:
$lim_n \int_(RR^n)f*phi_n" d"m=lim_n \int_(\bar(B)(o;1)) f*phi_n" d"m=\int_(\bar(B)(o;1)) f*(lim_n phi_n)" d"m=0\quad$,
la nullità dell'ultimo integrale essendo garantita dal fatto che il limite delle $phi_n$ è q.o. nullo in $RR^n$ (ed a maggior ragione in $\bar(B)(o;1)$).
Ciò però è assurdo, perchè contrasta con la seconda delle a).
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* Qui il simbolo $"supp"$ denota il supporto di una funzione.
Ingegnere, vero Lord K?
Siccome mi sento in obbligo di difendere la categoria dai soprusi dei matematici
aggiungo che, se proprio si vuole tradurre il bra-ket in forma integrale, si può scrivere$(:delta_(x_0) , phi$ $rangle$$= int_("supp"phi) phi "d"mu_(x_0)$,
dove $mu_(x_0)$ è la misura che prende il valore 1 sull'insieme ${x_0}$ e il valore $0$ sui compatti disgiunti da $x_0$.
In effetti $delta=delta_o$ è il funzionale lineare continuo su $C_c(RR^n)$ individuato dalla misura $mu_o$ (detta anche misura di Dirac centrata in $o$) definita dall'assegnazione:
$mu_o(E):=\{(1, " se " o\in E),(0, " altrimenti"):}$.
La $mu_o$ è unica per via del Teorma di rappresentazione di Riesz.
$mu_o(E):=\{(1, " se " o\in E),(0, " altrimenti"):}$.
La $mu_o$ è unica per via del Teorma di rappresentazione di Riesz.
"Gugo82":
Ingegnere, vero Lord K?
Si vede dal fatto che pensi alla $delta$ come ad una funzione...
Non lo prendo per un insulto
, ma sono matematico, anche se algebrista... (principalmente mi occupo di teoria dei numeri)
"Lord K":
[quote="Gugo82"]Ingegnere, vero Lord K?
Si vede dal fatto che pensi alla $delta$ come ad una funzione...
Non lo prendo per un insulto
, ma sono matematico, anche se algebrista... (principalmente mi occupo di teoria dei numeri)[/quote]Ah, ok...
P.S.: Non voleva essere un insulto, ma un'induzione, nemmeno tanto azzardata, dal fatto che l'errore di cui sopra è commesso quasi sempre dagli ingegneri (dato l'uso del simbolo erato $\int_(RR^n) delta(x)*phi(x)" d"x$ che di frequente si fa nelle applicazioni della teoria delle distibuzioni).
comunque la funzione non esiste al di là di notazioni varie, perchè anche definendo una funzione =1 in un punto e 0 altrove, l'integrale fa sempre 0. concordo che è sbagliato scrivere $int_RRdelta(x)*phi(x)$ non essendo delta(x) una funzione ma una distribuzione.
No, non è sbagliato scrivere quello, è sbagliato metterci il $dx$, Gugo82 si riferiva a quello, questa discussione è già stata fatta una volta. Il $dx$ indica l'integrazione rispetto alla misura di Lebesgue, ma la $\delta$ è già la misura rispetto a cui integri.
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