Delta di Dirac

[Giancarlo3]

Salve,
qualcuno mi sa dire xkè le delta di Dirac formano una base ortonormale per l'insieme dei segnali continui ? La dimostrazione che possiedo è incompleta e mi lascia un pò perplesso.....

[Studente Anonimo]

Brutalmente ... se no bisogna invocare la teoria delle distribuzioni.

Tutto parte dall'eguaglianza :

f(x0) = Int(f(x)*delta(x-x0))dx.

Questa può essere scritta come :

f(x0) =

che corrisponde al prodotto interno fra la funzione f(x) e delta(x-x0) che è una delta di Dirac centrata in x0.

Detto prodotto interno può essere considerato come la componente della funzione f(x) rispetto al vettore delta(x-x0).

Il prodotto interno fra due delta di Dirac è :

Int(delta(x-x1)*delta(x-x2))dx

che dà (per la prima fornmula data all'inizio) :

delta(x2-x1)

ovvero :

0 , se x1 # x2
00 , se x1 = x2.

Queste sono le condizioni di ortonormalità (attenzione 00 invece di 1 !!!) fra le delta di Dirac.

Le delta di Dirac possono così essere considerate come un sistema di vettori ortonormali.

Detto sistema è completo perchè un vettore f(x) è ottenibile da :

Int(*delta(x-x0))dx0 = Int(f(x0)*delta(x-x0))dx0 .

S.E.e.O. Arrigo.

ps. tutti gli integrali sono fra -00 e +00.

[Giancarlo3]

Ti ringrazio per avermi dato una risposta.....ma.... io sono abituato a vedere la definizione di ortonormalità nella forma :

Se v=(v1, v2, ......vn) è una base per uno spazio con prodotto interno, si dice che v è ortonormale se:

= 0 se i#j
= 1 se i=j

Ho capito xkè delta(x2-x1) = 00 se x1=x2....ma non si dovrebbe dimostrare che fa 1 ?
Infatti, proprio quello che non capivo e che tuttora non riesco a capire è l'osservazione tra parentesi : (attenzione 00 invece di 1 !!!). Esiste 1 altra definizione di ortonormalità?

[Studente Anonimo]

Purtroppo mi sa che ci dobbiamo ... accontentare di 00.

Questo comportamento "strano" della delta di Dirac dipende dal fatto che essa non è propriamente una funzione bensì è una distribuzione.

Quindi, direi che le condizioni di ortonormalità passano dalla delta di Kronecker alla delta di Dirac, e questo lo prendiamo per definizione.

Ciao. Arrigo.