Definizioni equivalenti di punto di accumulazione
Buongiorno a tutti, ho un dubbio sulla veridicità di un affermazione. Premetto che ho cercato sul forum, precedentemente.
Sto studiando analisi 1 sul libro Pagani Salsa, il quale asserisce che le due definizioni seguenti sono equivalenti:
1) Un punto \(\displaystyle \mathbf{x} \) si dice di accumulazione per E se in ogni intorno di \(\displaystyle \mathbf{x} \) esiste un punto di E diverso da \(\displaystyle \mathbf{x} \).
2)Un punto \(\displaystyle \mathbf{x} \) si dice di accumulazione per E se in ogni intorno di \(\displaystyle \mathbf{x} \) esistono infiniti punti di E.
Premettendo che tali definizioni sono valide in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \),
la mia giustificazione all'equivalenza delle definizioni riguarda la densità dell'intorno in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Sostanzialmente, prendendo un intorno sferico di \(\displaystyle \mathbf{x} \):
\(\displaystyle B(\mathbf{x},r)=\{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n\biggl | d(\mathbf{x,y})0\in\mathbb{R} \)
Se tale insieme contiene un elemento \(\displaystyle y \), essendo denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \) , esisterà sempre un elemento \(\displaystyle t \) compreso tra \(\displaystyle 0 \) ed \(\displaystyle y \), in formule:
\(\displaystyle \forall y \quad \exists t :0
Grazie per le eventuali risposte
PS:Accetto insulti
Sto studiando analisi 1 sul libro Pagani Salsa, il quale asserisce che le due definizioni seguenti sono equivalenti:
1) Un punto \(\displaystyle \mathbf{x} \) si dice di accumulazione per E se in ogni intorno di \(\displaystyle \mathbf{x} \) esiste un punto di E diverso da \(\displaystyle \mathbf{x} \).
2)Un punto \(\displaystyle \mathbf{x} \) si dice di accumulazione per E se in ogni intorno di \(\displaystyle \mathbf{x} \) esistono infiniti punti di E.
Premettendo che tali definizioni sono valide in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \),
la mia giustificazione all'equivalenza delle definizioni riguarda la densità dell'intorno in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Sostanzialmente, prendendo un intorno sferico di \(\displaystyle \mathbf{x} \):
\(\displaystyle B(\mathbf{x},r)=\{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n\biggl | d(\mathbf{x,y})
Se tale insieme contiene un elemento \(\displaystyle y \), essendo denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \) , esisterà sempre un elemento \(\displaystyle t \) compreso tra \(\displaystyle 0 \) ed \(\displaystyle y \), in formule:
\(\displaystyle \forall y \quad \exists t :0
Grazie per le eventuali risposte
PS:Accetto insulti
Risposte
L'idea di usare le palle va bene ma non ho capito cosa c'entra la densita', e poi la densita' di cosa? Secondo me si potrebbe vedere cosi'. Anzitutto basta far vedere che 1 implca 2 visto che 2 implica 1 e' banale. Supponiamo che valga 1 e scegliamo $h$ tale che $B(x,1/h) \subset E$. Allora esiste $x_1$ che sta in $E\cap B(x,1/h)$ ed e' diverso da $x$; pongo $h_1=h$. Ora scelgo $h_2>h_1$ di modo tale che $x_1$ non sta in $B(x,1/h_2)$. Ma allora trovo per ipotesi $x_2\in B(x,1/h_2)$ diverso da $x$ e che per forza e' diverso da $x_1$. Costruisci allora una successione $x_{h_k}$ di elementi distinti tutti diversi da $x$.
Grazie mille per la pronta risposta. Io intendevo che la palla di raggio \(\displaystyle r \) è un intervallo aperto di \(\displaystyle \mathbb{R} \). Se contiene un elemento generico \(\displaystyle y \) allora essendo tale intervallo denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \) esisterà sempre un elemento \(\displaystyle t\in \mathbb{R} \) tale che:
\(\displaystyle 0
\(\displaystyle 0
Prima di tutto non siamo in $\mathbb R$ ma in $\mathbb R^n$, per cui non va bene parlare di intervalli. E poi l'unico intervallo in $\mathbb R$ denso in $\mathbb R$ e' $\mathbb R$ stesso... la densita' in questa equivalenza delle definizioni non c'entra niente, si tratta di una proprieta' degli spazi metrici infatti, non serve a niente essere in $\mathbb R^n$, basta che ci sia una metrica (basterebbe meno, basterebbe un sistema fondamentale di intorni di $x$ al piu' numerabile se proprio vogliamo fare della topologia...)
Grazie mille Luca, sei stato gentilissimo. Ora penso per bene alle castronerie dette e alle conseguenze
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