Definizioni di limite (Pagani-Salsa)
Sto ripassando un po' di Analisi 1 (esame che ho dato più o meno un secolo fa) e sono decisamente arrugginito (come mi ha anche detto il prof all'esame di Metodi Matematici). In particolare sto usando il Pagani-Salsa. Trovo questa definizione:
Sia $f:RR^n supe X -> RR$ e $x^0\in dot RR$ un punto di accumulazione per $X$; sia inoltre $l$ un elemento di $RR^"*"$ oppure di $dot RR$. Diremo che $lim_(x->x^0)f(x)=l$ se, per ogni intorno $V$ di $l$ è possibile trovare un intorno $U$ di $x^0$ per cui
$f(x)\in V$ se $x^0!=x \in U uu X$
E fin qui tutto chiaro. Poi però dice: se $x^0 \in RR^n$ e $l \in RR$ diremo che $f(x)->l$ per $x->x^0$ se fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che
$"||"f(x)-l"||"<\epsilon$ se $x \in X$ e $0<"||"x-x^0"||"<\delta$.
Non riesco a capire la differenza tra le due definizioni.
Sia $f:RR^n supe X -> RR$ e $x^0\in dot RR$ un punto di accumulazione per $X$; sia inoltre $l$ un elemento di $RR^"*"$ oppure di $dot RR$. Diremo che $lim_(x->x^0)f(x)=l$ se, per ogni intorno $V$ di $l$ è possibile trovare un intorno $U$ di $x^0$ per cui
$f(x)\in V$ se $x^0!=x \in U uu X$
E fin qui tutto chiaro. Poi però dice: se $x^0 \in RR^n$ e $l \in RR$ diremo che $f(x)->l$ per $x->x^0$ se fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che
$"||"f(x)-l"||"<\epsilon$ se $x \in X$ e $0<"||"x-x^0"||"<\delta$.
Non riesco a capire la differenza tra le due definizioni.
Risposte
Magnifico libro, è quello che ho usato io al semestre scorso 
Sei a pagina 221, giusto?
Il punto è che nella prima considera [tex]l \in \mathbb{R^*}[/tex] oppure [tex]l \in \mathbb{\dot{R}}[/tex] mentre nel secondo [come peraltro è scritto!] considera uno dei casi particolari, e cioè quello in cui [tex]l \in \mathbb{R}[/tex] [in altre parole, impone che [tex]l \neq \pm \infty \wedge l \neq \infty[/tex]].
La prima è la definizione topologica, quella che è unica e generale per tutti i casi; la seconda è una delle possibili definizioni metriche, che dipende dallo specifico caso considerato.
Sei a pagina 221, giusto?
Il punto è che nella prima considera [tex]l \in \mathbb{R^*}[/tex] oppure [tex]l \in \mathbb{\dot{R}}[/tex] mentre nel secondo [come peraltro è scritto!] considera uno dei casi particolari, e cioè quello in cui [tex]l \in \mathbb{R}[/tex] [in altre parole, impone che [tex]l \neq \pm \infty \wedge l \neq \infty[/tex]].
La prima è la definizione topologica, quella che è unica e generale per tutti i casi; la seconda è una delle possibili definizioni metriche, che dipende dallo specifico caso considerato.
Nell'edizione che ho io sta a pag. 211 del Vol. 1. Comunque ti ringrazio per il chiarimento.
Sì, scusa, sono io che non so scrivere i numeri sulla tastiera 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo