Definizioni convergenza serie di funzioni

[kobeilprofeta]

Non trovo risultati concordanti in giro...

Sono giuste queste?

$\sum f_n$ è

1) di Chauchy se $AA x in E, AA \epsilon >0 EE N(\epsilon,x): AA n>N, AA p>0$ si ha $|\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(x)|<\epsilon$

2) conv puntualmente se $AA x in E, AA \epsilon >0 EE N(\epsilon,x): AA n>N, AA p>0$ si ha $|\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(x)|<\epsilon$

3) conv unif se $AA \epsilon >0 EE N(\epsilon): AA n>N, AA p>0$ si ha $||\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(x)||_{\infty,E}<\epsilon$


i miei dubbi derivano soprattutto dal fatto che conoscevo la def di Cauchy per successioni con la norma inifinito:

${f_n}$ è di Cauchy se $AA \epsilon>0 EE N(\epsilon): AA n,m>N $ si ha $||f_n-f_m||_{\infty,E}<\epsilon$

[billyballo2123]

Io direi che sono tutte e tre sbagliate. La prima è appunto come dici tu. La seconda (non so se te ne sei reso conto) l'hai scritta uguale alla prima. Io direi:

$\sum f_n$ converge puntualmente alla funzione $f$ se per ogni $x\in E$ e per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N(\varepsilon,x)\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n\geq N$ si ha
\[
\Bigg|\sum_{k=1}^{n}f_n(x)-f(x)\Bigg|<\varepsilon.
\]

Per quella uniforme invece

$\sum f_n$ converge uniformemente alla funzione $f$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n\geq N$ si ha
\[
\Bigg\|\sum_{k=1}^{n}f_n-f\Bigg\|_{\infty, E}<\varepsilon.
\]

[kobeilprofeta]

ma quella che mi hai dato tu e qulla che ho scritto io di conv unif non sono equivalenti?

[billyballo2123]

Non lo so, comunque come l'hai scritta tu non mi sembra molto intuitiva