Definizione topologica di intorno

[anto_zoolander]

Ciao

sto studiando analisi 1 sul 'De Marco' e pur trovandomi benissimo ogni tanto le questioni topologiche o dannatamente formali creano qualche perplessità
Nella definizione topologica di intorno si dice che $U$ è un intorno di un punto $x$ se contiene almeno un aperto contenente $x$ quando passiamo alla retta reale: un aperto è espresso come unione finita o infinita di intervalli aperti.
Ora da questo se un intervallo aperto contiene un punto $x$ allora esiste almeno un intorno di quel punto che lo contiene.
Si puo far corrispondere a un intervallo aperto un intorno?
Oppure bisogna prima mostrare che dato un intarvallo aperto, tra tutti gli intorni di quel punto che contengono quell'intervallo, l'intervallo è il minimo nel senso dell'inclusione?

[killing_buddha]

Non e' molto chiara la domanda; dato \(x\in\mathbb{R}\) in un intervallo $]a_x,b_x[$ vuoi associare un intorno di $x$ a questo intervallo? Per quale motivo (cioe', cosa speri di ottenere)?

[anto_zoolander]

Mi spiego meglio, che stavo andando all'università

Per definizione abbiamo detto che $U_c$ è un intorno di $c$ se contiene almeno un aperto di $RR$ che contiene $c$.
Dunque un intorno contiene intervalli aperti, insiemi aperti.
Ma in realtà con questa definizione anche un insieme aperto, o un semplice intervallo aperto del tipo $B(c,delta[,delta>0$ è un intorno.
Infatti un intervallo aperto contiene infiniti intervalli aperti(che sono aperti di $RR$).
Ora perché mi è venuta questo pallino? Studiavo questa proposizione sul De Marco.

Definisco il limite(userò $l$,$c$ finiti) di una funzione

sia $DsubseteqR$ e $c$ di accumulazione per $D$, $f:D->RR$ funzione.

si definisce $l$ il limite di una funzione per $x$ che tende a $c$ se soddisfa
$forallU_lsubseteqRRexistsU_csubseteqRR:f(x)inU_l forallx inU_c capD-{c}$

E si scrive $lim_(x->c)f(x)=l$

Ora mostra L'equivalenza con:

$lim_(x->c)f(x)=l <=> forallepsilon>0existsU_c subseteqRR:|f(x)-l|
\(\displaystyle \Longleftarrow \)
sicuramente se $|f(x)-l| f(x)inB(l,epsilon[$ che è in base a quanto detto questo è un intorno di $l$.
Quindi si ha $f(x)inB(l,epsilon[forallx inU_c capD-{c}$

\(\displaystyle \Longrightarrow \)
Valendo per ogni intorno $U_l$ fissato un qualunque $epsilon>0$, scelto $B(l,epsilon[$ si ha già la tesi.
Valendo per ogni intorno, ed essendo $B$ un intorno, allora vale per un qualunque $B$

Volevo chiarito se fosse corretto il modo di aver dimostrato(autonomamente) questa bicondizionale.
Più che altro per l'utilizzo degli intorni