Definizione \(\text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right)\)
ll mio testo definisce la distribuzione \(\text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right)\) nel seguente modo:
\[\text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right) := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{\chi_\varepsilon}{x} \quad \text{in} \ \mathcal{D}'(\mathbf{R})\]
Dove \(\chi_\varepsilon\) è l'indicatrice di \(\mathbb{R} \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]\).
Più esplicitamente si può scrivere:
\[\langle \text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right), \varphi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\mathbb{R} \frac{\chi_\varepsilon}{x} \varphi(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\mathbb{R} \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]} \frac{\varphi(x) }{x} \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\text{supp}(\varphi) \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]} \frac{\varphi(x) }{x} \mathrm{d}x\]
Non sono troppo sicuro della leicità di utilizzare esplicitamente il supporto di \(\varphi\) come dominio di integrazione e non un intervallo che lo contiene. Che ne dite?
A parte questa possibile sbavatura, questa è una comune definizione di valore principale.
Sul mio testo invece ci sono seguenti passaggi:
Innanzi tutto non capisco da dove spunta la \(\varphi(0)\). Mi rendo conto che si utilizza un "trucco" per aggirare la singolarità ma non capisco come e perché funziona...
\[\text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right) := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{\chi_\varepsilon}{x} \quad \text{in} \ \mathcal{D}'(\mathbf{R})\]
Dove \(\chi_\varepsilon\) è l'indicatrice di \(\mathbb{R} \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]\).
Più esplicitamente si può scrivere:
\[\langle \text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right), \varphi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\mathbb{R} \frac{\chi_\varepsilon}{x} \varphi(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\mathbb{R} \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]} \frac{\varphi(x) }{x} \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\text{supp}(\varphi) \setminus [-\varepsilon,\varepsilon]} \frac{\varphi(x) }{x} \mathrm{d}x\]
Non sono troppo sicuro della leicità di utilizzare esplicitamente il supporto di \(\varphi\) come dominio di integrazione e non un intervallo che lo contiene. Che ne dite?
A parte questa possibile sbavatura, questa è una comune definizione di valore principale.
Sul mio testo invece ci sono seguenti passaggi:
Innanzi tutto non capisco da dove spunta la \(\varphi(0)\). Mi rendo conto che si utilizza un "trucco" per aggirare la singolarità ma non capisco come e perché funziona...
Risposte
Quanto fa $C \cdot \int_{-R-\epsilon}^{R+\epsilon} \frac{1}{x}\, dx$?
Forse ci sono.
Dato che:
\[\text{p.v.} \int_{(-R,R)} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x := \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x = 0\]
in questo caso intendo il valor principale integrale non distribuzionale.
Abbiamo che:
\[ \langle \text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right), \varphi \rangle := \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x\]
Possiamo aggiungere \(0 = -\varphi(0) \cdot 0\), ovvero:
\[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x - \varphi(0) \cdot 0 = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[ \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x - \varphi(0)\int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x \right] =\]
\[= \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} \ \mathrm{d}x\]
Ci sono? È corretto?
Mi blocco al passo successivo.
La funzione \(f(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}\) quanto vale in zero? Non saprei rispondere con certezza, sono un po' confuso.
Grazie dissonance per l'hint, sperando di averlo interpretato nel modo giusto
Dato che:
\[\text{p.v.} \int_{(-R,R)} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x := \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x = 0\]
in questo caso intendo il valor principale integrale non distribuzionale.
Abbiamo che:
\[ \langle \text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right), \varphi \rangle := \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x\]
Possiamo aggiungere \(0 = -\varphi(0) \cdot 0\), ovvero:
\[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x - \varphi(0) \cdot 0 = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[ \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x} \ \mathrm{d}x - \varphi(0)\int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x \right] =\]
\[= \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{(-R,R) \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} \ \mathrm{d}x\]
Ci sono? È corretto?
Mi blocco al passo successivo.
La funzione \(f(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}\) quanto vale in zero? Non saprei rispondere con certezza, sono un po' confuso.
Grazie dissonance per l'hint, sperando di averlo interpretato nel modo giusto
Si è corretto. E chiaramente quella funzione vale $\phi'(0)$ in zero (con un po' di fantasia per aggirare le solite quisquilie tecniche).
"dissonance":
Si è corretto. E chiaramente quella funzione vale $\phi'(0)$ in zero (con un po' di fantasia per aggirare le solite quisquilie tecniche).
In pratica la stiamo estendendo con continuità no? Cioè poniamo \[f(0) := \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} = \varphi'(0)\]
Non la vedo troppo una quisquilia, almeno un rigo di spiegazione da parte del testo ci starebbe...
Che ne dici della perplessità che ho espresso nel primo post riguardo il supporto della test? Ovvero questa scrittura, con \(f \in L^1_{\text{loc}}\):
\[\int_\mathbb{R} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x = \int_{\text{supp}(\varphi)} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x\]
e questa:
\[\int_\mathbb{R} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x = \int_{(-R,R)} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x\]
con \(\text{supp}(\varphi) \subset (-R,R)\), sono equivalenti?
Io preferirei la prima, ma mi sembra che la seconda sia più usata e magari più corretta. Che ne dici?
Grazie mille
Buh francamente mi sembrano dettagli senza grande importanza, Emar.
"dissonance":
Buh francamente mi sembrano dettagli senza grande importanza, Emar.
La seconda questione lo è, hai ragione, avevo bisogno di una conferma...
Per quanto riguarda la prima perplessità forse mi ci devo solo abituare, se mi dici che è poco importante mi fido.
Ti ringrazio come sempre Giuseppe
"Emar":
Che ne dici della perplessità che ho espresso nel primo post riguardo il supporto della test? Ovvero questa scrittura, con \(f \in L^1_{\text{loc}}\):
\[\int_\mathbb{R} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x = \int_{\text{supp}(\varphi)} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x\]
e questa:
\[\int_\mathbb{R} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x = \int_{(-R,R)} f(x)\varphi(x) \ \mathrm{d}x\]
con \(\text{supp}(\varphi) \subset (-R,R)\), sono equivalenti?
Io preferirei la prima, ma mi sembra che la seconda sia più usata e magari più corretta. Che ne dici?
Mi autocito aggiungendo una considerazione emersa oggi a colloquio con il professore. Mettiamoci nel caso generale, tra le due scritture seguenti:
\[\int_{\text{supp}(\varphi)} f(\mathbf{x})\varphi(\mathbf{x}) \ \mathrm{d}\mathbf{x}\]
\[\int_{B_R(\mathbf{0})} f(\mathbf{x})\varphi(\mathbf{x}) \ \mathrm{d}\mathbf{x}\]
con \(\text{supp}(\varphi) \subset B_R(\mathbf{0})\) qual'è preferibile?
La prima è sicuramente più elegante e compatta come notazione ma nasconde un insidia: \(\partial \text{supp}(\varphi)\) può essere brutto, veramente brutto e, in vista di integrali di bordo questo rappresenta un grosso problema. Conviene quindi mettersi al riparo mettendosi in una palla \(B_R(\mathbf{0}) \supset \text{supp}(\varphi)\) che ha una frontiera liscia e con una parametrizzazione facile facile.
Magari può servire a qualcuno
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo