Definizione SUCCESSIONE DI CAUCHY
Si dice che $a_n$ è una successione di Cauchy se, per ogni $e>0$, esiste un indice $n_e$ tale che per $h,k>n_e$, risulti $|a_k-a_h|
k e h sono duenumeri naturali successivi?
Ah, ok, allora è come avevo detto io o no?
Quando ho studiato la definizione di limite, si approssimava il limite della successione di un fattore epsilon e quindi si otteneva un intervallo (l-$epsilon$, l+$epsilon$). La successione convergeva a quel limite se e solo se le sue ordinate erano contenute in quell'intervallo da un certo punto in poi.
Ritornando a Cauchy, dissonance ha detto: per ogni $epsilon$ esiste un indice $n_{\epsilon}$ tale che da questo indice in poi la distanza tra due qualsiasi ordinate è piccola più di $epsilon$. Quindi se prendo un epsilon positivo sull'asse delle ordinate, vado a definire un intervallo a cui è associato un indice sull'asse delle ascisse. Per ogni termine maggiore di questo indice, la differenza tra due ordinate qualsiasi della successione è minore dell'intervallo epsilon che ho scelto, quindi le ordinate della successione sono contenute in quest'intervallo a partire da un certo indice in poi. Questa è la mia interpretazione, se è sbagliata, per favore, qualcuno mi dica com'è, mi faccia una rappresentazione grafica della situazione, sennò come faccio a capire bene la definizione?
Risposte
No, non "tutte le ordinate", ma "la distanza tra un'ordinata e quelle successive". E' diverso.
"dissonance":
No, non "tutte le ordinate", ma "la distanza tra un'ordinata e quelle successive". E' diverso.
k e h sono duenumeri naturali successivi?
No, la devi vedere così: per ogni $epsilon$ esiste un indice $n_{\epsilon}$ tale che da questo indice in poi la distanza tra due qualsiasi ordinate è piccola più di $epsilon$.
"dissonance":
No, la devi vedere così: per ogni $epsilon$ esiste un indice $n_{\epsilon}$ tale che da questo indice in poi la distanza tra due qualsiasi ordinate è piccola più di $epsilon$.
Ah, ok, allora è come avevo detto io o no?
No.
Giusto per essere chiari, la definizione data da Soscia è corretta, è l'interpretazione che non lo era.
scusate, ma se da un certo indice in poi la distanza tra due ordinate qualsiasi è più piccola di $epsilon$ non significa che le ordinate sono contenute in $epsilon$?
Cosa vuol dire che le ordinate sono contenute in un numero positivo?
"Luca.Lussardi":
Cosa vuol dire che le ordinate sono contenute in un numero positivo?
Quando ho studiato la definizione di limite, si approssimava il limite della successione di un fattore epsilon e quindi si otteneva un intervallo (l-$epsilon$, l+$epsilon$). La successione convergeva a quel limite se e solo se le sue ordinate erano contenute in quell'intervallo da un certo punto in poi.
Ritornando a Cauchy, dissonance ha detto: per ogni $epsilon$ esiste un indice $n_{\epsilon}$ tale che da questo indice in poi la distanza tra due qualsiasi ordinate è piccola più di $epsilon$. Quindi se prendo un epsilon positivo sull'asse delle ordinate, vado a definire un intervallo a cui è associato un indice sull'asse delle ascisse. Per ogni termine maggiore di questo indice, la differenza tra due ordinate qualsiasi della successione è minore dell'intervallo epsilon che ho scelto, quindi le ordinate della successione sono contenute in quest'intervallo a partire da un certo indice in poi. Questa è la mia interpretazione, se è sbagliata, per favore, qualcuno mi dica com'è, mi faccia una rappresentazione grafica della situazione, sennò come faccio a capire bene la definizione?
QUando vado a definire l'epsilon, non vado a definire un intervallo? Altrimenti epsilon che mi rappresenta?
$\varepsilon$ è un numero reale positivo, non è un intervallo.
qual è allora il significato della definizione?
se epsilon non è un intervallo secondo che criterio fisso l'indice?
se epsilon non è un intervallo secondo che criterio fisso l'indice?
Soscia, ma l'intervallo è [tex]$]l-\varepsilon, l+\varepsilon[$[/tex], mica [tex]$\varepsilon$[/tex]...
Al massimo [tex]$\varepsilon$[/tex] è la semiampiezza dell'intervallo, non trovi?
[mod="gugo82"]Inoltre, evitia il maiuscolo nei titoli. Grazie.[/mod]
Al massimo [tex]$\varepsilon$[/tex] è la semiampiezza dell'intervallo, non trovi?
[mod="gugo82"]Inoltre, evitia il maiuscolo nei titoli. Grazie.[/mod]
Il significato della definizione è quello che ha precisato anche dissonance: i termini di una successione di Cauchy diventano sempre più vicini tra loro man mano che l'indice cresce. A posteriori puoi dire che stanno definitivamente in $(l-\varepsilon,l+\varepsilon)$, se prima però dimostri che la successione converge a $l$, e questa è la completezza di $\RR$, che però è qualcosa di più del solo significato della successione di Cauchy.
ok, tutto chiaro
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it