Definizione successionale di limite.
Salve ragazzi,
Qualcuno può aiutarmi con questa definizione utile quando si passa dai limiti di successioni ai limiti di funzioni? Non l'ho capita interamente.
Grazie mille
Qualcuno può aiutarmi con questa definizione utile quando si passa dai limiti di successioni ai limiti di funzioni? Non l'ho capita interamente.
Grazie mille
Risposte
Io non ho capito di cosa parli, sii più dettagliato!
penso che vuole intendere quella in cui ci si riferisce a una successione ${x_n}$ di punti di un intervallo $I$, tali che $x_n->c$, e $c\inI$.
E per ognuna di queste successioni, si ha che $f(x_n)->l$, supposto che $f$ sia continua nell' intervallo $I$.
E per ognuna di queste successioni, si ha che $f(x_n)->l$, supposto che $f$ sia continua nell' intervallo $I$.
... e che per ipotesi sia [tex]$f(c)=l$[/tex].
Tale è la sequenziale continuità!
Tale è la sequenziale continuità!
Certo Luca poteva essere più chiaro ma credo si possa capire a cosa si sta riferendo: si tratta della caratterizzazione dei limiti di funzioni di variabile reale in termini di successioni (teorema ponte come infelicemente lo chiamano alcuni). La sequenziale continuità è un concetto parente stretto di questo, ma ora non serve e direi di lasciarlo fuori dalla porta.
Comunque ne abbiamo parlato tante volte sul forum, prova con una ricerca (magari usa come parole chiave "teorema ponte", cercando tutte le parole) e salterà fuori molto materiale. Se poi hai ancora dubbi se ne può riparlare.
Comunque ne abbiamo parlato tante volte sul forum, prova con una ricerca (magari usa come parole chiave "teorema ponte", cercando tutte le parole) e salterà fuori molto materiale. Se poi hai ancora dubbi se ne può riparlare.
[OT, terminologico]
@LucaSS05: Si dice "sequenziale", non "successionale".
[/OT]
@LucaSS05: Si dice "sequenziale", non "successionale".
[/OT]
"dissonance":E perché?
...teorema ponte come infelicemente lo chiamano alcuni...
"gugo82":
[OT, terminologico]
@LucaSS05: Si dice "sequenziale", non "successionale".
[/OT]
Anch' io sapevo che si chiamava "successionale", come si spiega questo fatto?
Premetto che il mio libro si chiama: Analisi matematica 1 di Bramanti Pagani Salsa editore Zanichelli. Non è una copia dell'antiguerra 
(è del 2008) ma penso che alla fine non cambi nulla.
Comunque ragazzi scusate se non sono stato chiaro.
Vi scrivo esattamente le parole del libro anche se credo che Alxxx28 abbia azzeccato (Credo visto che stamattina forse ho chiarito un po).
1."Consideriamo un intervallo I, un punto $ c in I $ e una funzione f a valori reali definita in I salvo al più nel punto c." Fin qui tutto apposto.
2."Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I e diversi da c, che tenda a c per n $ n -> oo $ ."
Vuol dire che $ lim_(n -> oo ) Xn = c $ . I valori di questa successione sono diversi da c.
Ciò che non mi è chiaro è l'affermazione "Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I".
Vuol dire che:
dobbiamo considerare l'intervallo I come una successione?
Oppure che ogni punto dell'intervallo I è una successione? Cosa che mi fa impazzire ancora di più
.
Oppure che nell'intervallo I cè una particolare successione?
3."In corrispondenza degli ingressi Xn, consideriamo la successione delle uscite f(Xn)."
Siccome Xn è una successione, quindi associa valori naturali a valori reali. Qui si riferisce agli elementi di Xn oppure agli elementi che la successione associa per ogni n?
4. Se qualunque sia la successione scelta si ha che f(Xn) tende al limite L (finito o infinito) si dice che il limite di f(x) per x che tende a c è L e si scrive
$ lim_(x -> c) f(x) = L $.
Questa è una conseguenza delle precedenti che non mi sono chiare.
Poi dopo la puntualizza meglio dicendo:
Definizione successionale di limite
Si dice che $ lim_(x -> c) f(x) = L $ (dove $ c,L in RR $* se per ogni succesione {Xn} di punti di I diversi di c, tale che $ Xn -> c $, si ha che $ f(Xn) -> c $ $ n -> oo $
Grazie per l'aiuto che mi state dando
(è del 2008) ma penso che alla fine non cambi nulla.Comunque ragazzi scusate se non sono stato chiaro.
Vi scrivo esattamente le parole del libro anche se credo che Alxxx28 abbia azzeccato
(Credo visto che stamattina forse ho chiarito un po).1."Consideriamo un intervallo I, un punto $ c in I $ e una funzione f a valori reali definita in I salvo al più nel punto c." Fin qui tutto apposto.
2."Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I e diversi da c, che tenda a c per n $ n -> oo $ ."
Vuol dire che $ lim_(n -> oo ) Xn = c $ . I valori di questa successione sono diversi da c.
Ciò che non mi è chiaro è l'affermazione "Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I".
Vuol dire che:
dobbiamo considerare l'intervallo I come una successione?
Oppure che ogni punto dell'intervallo I è una successione? Cosa che mi fa impazzire ancora di più
. Oppure che nell'intervallo I cè una particolare successione?
3."In corrispondenza degli ingressi Xn, consideriamo la successione delle uscite f(Xn)."
Siccome Xn è una successione, quindi associa valori naturali a valori reali. Qui si riferisce agli elementi di Xn oppure agli elementi che la successione associa per ogni n?
4. Se qualunque sia la successione scelta si ha che f(Xn) tende al limite L (finito o infinito) si dice che il limite di f(x) per x che tende a c è L e si scrive
$ lim_(x -> c) f(x) = L $.
Questa è una conseguenza delle precedenti che non mi sono chiare.
Poi dopo la puntualizza meglio dicendo:
Definizione successionale di limite
Si dice che $ lim_(x -> c) f(x) = L $ (dove $ c,L in RR $* se per ogni succesione {Xn} di punti di I diversi di c, tale che $ Xn -> c $, si ha che $ f(Xn) -> c $ $ n -> oo $
Grazie per l'aiuto che mi state dando
"Alxxx28":
[quote="gugo82"][OT, terminologico]
@LucaSS05: Si dice "sequenziale", non "successionale".
[/OT]
Anch' io sapevo che si chiamava "successionale", come si spiega questo fatto?[/quote]
Ah... Mai sentito "successionale".
O Pagani e Salsa hanno coniato un nuovo aggettivo oppure hanno ripreso un aggettivo d'antan, non so... Bisognerebbe chiederglielo.
Ok gugo
La generica successione da considerare dovrebbe essere composta da più punti, non da uno solo.
E tutti i punti di questa generica successione devono appartenere all' intervallo $I$, ma oltre a questo si chiede che siano vicini
al punto $c$ e nello stesso tempo diversi da $c$.
Ciò che hai detto nella domanda, per me è la stessa cosa.
Per elemento di $x_n$ vuoi intendere un singolo punto appartenente alla successione?(cioè il valore reale associato ad un certo $n\inN$)
"LucaSS05":
2."Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I e diversi da c, che tenda a c per n $ n -> oo $ ."
Vuol dire che $ lim_(n -> oo ) Xn = c $ . I valori di questa successione sono diversi da c.
Ciò che non mi è chiaro è l'affermazione "Prendiamo una qualunque successione di punti Xn nell'intervallo I".
Vuol dire che:
dobbiamo considerare l'intervallo I come una successione?
Oppure che ogni punto dell'intervallo I è una successione? Cosa che mi fa impazzire ancora di più
Oppure che nell'intervallo I cè una particolare successione?
La generica successione da considerare dovrebbe essere composta da più punti, non da uno solo.
E tutti i punti di questa generica successione devono appartenere all' intervallo $I$, ma oltre a questo si chiede che siano vicini
al punto $c$ e nello stesso tempo diversi da $c$.
"LucaSS05":
3."In corrispondenza degli ingressi Xn, consideriamo la successione delle uscite f(Xn)."
Siccome Xn è una successione, quindi associa valori naturali a valori reali. Qui si riferisce agli elementi di Xn oppure agli elementi che la successione associa per ogni n?
Ciò che hai detto nella domanda, per me è la stessa cosa.
Per elemento di $x_n$ vuoi intendere un singolo punto appartenente alla successione?(cioè il valore reale associato ad un certo $n\inN$)
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