Definizione spazio metrico
Ragazzi cos'è uno spazio metrico? E' la coppia (X,d) dove X è un insieme di punti e d è un numero reale definito distanza, ma più intuitivamente? Per punti? cosa si intende? e poi cos'è la topologia? che c'entra con lo spazio metrico? Grazie per le risposte
Risposte
Tempo fa aprii questa discussione: spazio-euclideo-normato-metrico-t104359.html
Dagli una letta potrebbe servirti!
Tornando alla tua domanda, puoi immaginare gli elementi (che non a caso si chiamano punti) come punti nello spazio, e $d$ come una funzione che ad ogni coppia di punti associa la distanza tra di essi.
Dagli una letta potrebbe servirti!
Tornando alla tua domanda, puoi immaginare gli elementi (che non a caso si chiamano punti) come punti nello spazio, e $d$ come una funzione che ad ogni coppia di punti associa la distanza tra di essi.
I punti sono gli elementi dell'insieme \(\displaystyle X \) e possono essere punti in senso "proprio", oppure latu sensu: possono essere anche delle funzioni, per esempio.
Personalmente trovo comunque molto più efficace l'approccio astratto a quello intuitivo/geometrico: questi enti sono probabilmente stati introdotti per risolvere una data tipologia di problemi - attualmente però le mie conoscenze non mi permettono una visione ad ampio spettro, e quindi non ne so molto. C'è necessità di saperli maneggiare, di conoscerli, ma secondo me è opportuno abbandonarsi un pochino al formalismo ed evitare di cercare una "corrispondenza empirica".
E' un po' come il concetto di ortogonalità: normalmente - e come anche l'esperienza quotidiana di uno spazio piatto (a questo proposito è interessante l'introduzione dello spaziotempo di Minkowski) ci suggerisce - si ritiene a buon diritto che due vettori (oppure due oggetti materiali) siano ortogonali quando l'angolo da essi formato misura \(\displaystyle \pi/2 \), oppure, volendo essere un filino più tecnici, quando il loro prodotto scalare (standard!) è nullo.
Tuttavia esistono un mucchio di applicazioni bilineari che generano "mondi" differenti nei quali ciò che rimane valida è una definizione di ortogonalità, e null'altro (basti pensare ai vettori isotropi, ortogonali a loro stessi).
Personalmente trovo comunque molto più efficace l'approccio astratto a quello intuitivo/geometrico: questi enti sono probabilmente stati introdotti per risolvere una data tipologia di problemi - attualmente però le mie conoscenze non mi permettono una visione ad ampio spettro, e quindi non ne so molto. C'è necessità di saperli maneggiare, di conoscerli, ma secondo me è opportuno abbandonarsi un pochino al formalismo ed evitare di cercare una "corrispondenza empirica".
E' un po' come il concetto di ortogonalità: normalmente - e come anche l'esperienza quotidiana di uno spazio piatto (a questo proposito è interessante l'introduzione dello spaziotempo di Minkowski) ci suggerisce - si ritiene a buon diritto che due vettori (oppure due oggetti materiali) siano ortogonali quando l'angolo da essi formato misura \(\displaystyle \pi/2 \), oppure, volendo essere un filino più tecnici, quando il loro prodotto scalare (standard!) è nullo.
Tuttavia esistono un mucchio di applicazioni bilineari che generano "mondi" differenti nei quali ciò che rimane valida è una definizione di ortogonalità, e null'altro (basti pensare ai vettori isotropi, ortogonali a loro stessi).
molto chiaro
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