Definizione serie
Ciao raga,
avrei bisogno di conferme su questo esercizio:
"Dare la dimostrazione di serie ed utilizzarla per dimostrare che $\sum_{k=0}^\infty a_k$ e $\sum_{k=100}^\infty a_k$" hanno lo stesso carattere.
Io so che la definizione di serie è la seguente:
$lim_(k -> \infty) S_k : = \sum_{k=0}^\infty a_k$
dove $a_k$ è una generica successione, $S_k$ la successione delle somme parziali.
Carattere della serie? Convergente, divergente o irregolare...
In generale so che non dovrebbe cambiare se una serie parte da un determinato valore iniziale o da un altro (SPERO DI NON AVERE DETTO UNA CAVOLATA XD). Su questo punto mi piacerebbe che qualcuno mi illuminasse sul perché siano uguali considerando un valore iniziale diverso...a me l'hanno detto ma non spiegato
Il problema che detto ciò non riesco però a dire se convergono, divergono o risultino uguali...
Grazie
AGGIORNAMENTO
il mio problema è che $a_k$ è generale...se io lo ponessi, per esempio, uguale a "k" (penso sia corretto fare queste considerazioni, non mi sembra l'esercizio lo vieti
)
Potrei dire che $S_k = (k(k +1))/2$ e in entrambi i casi mi accorgo che la successione non dipende dal valore iniziale.
se faccio il limite della successione $S_k$ ottengo $\infty$ e quindi le successioni divergono.
avrei bisogno di conferme su questo esercizio:
"Dare la dimostrazione di serie ed utilizzarla per dimostrare che $\sum_{k=0}^\infty a_k$ e $\sum_{k=100}^\infty a_k$" hanno lo stesso carattere.
Io so che la definizione di serie è la seguente:
$lim_(k -> \infty) S_k : = \sum_{k=0}^\infty a_k$
dove $a_k$ è una generica successione, $S_k$ la successione delle somme parziali.
Carattere della serie? Convergente, divergente o irregolare...
In generale so che non dovrebbe cambiare se una serie parte da un determinato valore iniziale o da un altro (SPERO DI NON AVERE DETTO UNA CAVOLATA XD). Su questo punto mi piacerebbe che qualcuno mi illuminasse sul perché siano uguali considerando un valore iniziale diverso...a me l'hanno detto ma non spiegato
Il problema che detto ciò non riesco però a dire se convergono, divergono o risultino uguali...
Grazie
AGGIORNAMENTO
il mio problema è che $a_k$ è generale...se io lo ponessi, per esempio, uguale a "k" (penso sia corretto fare queste considerazioni, non mi sembra l'esercizio lo vieti
)Potrei dire che $S_k = (k(k +1))/2$ e in entrambi i casi mi accorgo che la successione non dipende dal valore iniziale.
se faccio il limite della successione $S_k$ ottengo $\infty$ e quindi le successioni divergono.
Risposte
Vedi subito che se poni, per \(n\geq 100\),
\[
S_n := \sum_{k=0}^n a_k,\qquad
\sigma_n := \sum_{k=100}^n a_k,
\]
hai che ovviamente \(S_n = \sigma_n + c\), dove \(c := \sum_{k=0}^{99} a_k\).
Di conseguenza, \((S_n)_n\) converge (risp. diverge a \(-\infty\), a \(+\infty\) oppure il limite non esiste) se e solo se \((\sigma_n)_n\) converge (risp. diverge a \(-\infty\), a \(+\infty\) oppure il limite non esiste).
Tradotto: le due serie hanno lo stesso carattere.
Tuttavia, se sono convergenti, non hanno in generale la stessa somma, dal momento che se \(S\) e \(\sigma\) denotano le rispettive somme si ha
\[
S = \lim_n S_n = \lim_n (\sigma_n + c) = \sigma + c.
\]
\[
S_n := \sum_{k=0}^n a_k,\qquad
\sigma_n := \sum_{k=100}^n a_k,
\]
hai che ovviamente \(S_n = \sigma_n + c\), dove \(c := \sum_{k=0}^{99} a_k\).
Di conseguenza, \((S_n)_n\) converge (risp. diverge a \(-\infty\), a \(+\infty\) oppure il limite non esiste) se e solo se \((\sigma_n)_n\) converge (risp. diverge a \(-\infty\), a \(+\infty\) oppure il limite non esiste).
Tradotto: le due serie hanno lo stesso carattere.
Tuttavia, se sono convergenti, non hanno in generale la stessa somma, dal momento che se \(S\) e \(\sigma\) denotano le rispettive somme si ha
\[
S = \lim_n S_n = \lim_n (\sigma_n + c) = \sigma + c.
\]
Ciao, grazie per la risposta! Veramente gentile e chiaro, ne farò buon uso all'orale 
Secondo te invece quello che ho scritto io era totalmente sballato o un minimo stava in piedi? (cosi, giusto per sapere XD)
Secondo te invece quello che ho scritto io era totalmente sballato o un minimo stava in piedi? (cosi, giusto per sapere XD)
Diciamo che da quello che hai scritto non si possono estrarre molti elementi valutabili (né in positivo né in negativo)...
ahahahahah ok!!
Grazie ancora
Grazie ancora
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