Definizione rigorosa di numero irrazionale e di fuinzione esponenziale?
Buonasera a tutti,
Oggi il professore ha spiegato le funzione esponenziali dicendo che non ne avrebbe dato una definizione rigorosa dal passaggio delle funzioni potenze a quelle esponenziali, così come non ha dato per il passaggio dai numeri razionali a quelli irrazionali, di cui ha detto che sono tutti quei numeri che non sono esprimibili tramite una frazione $a/b$ in quanto hanno la parte decimale che è infinita.
Quindi qual è una definizione rigorosa di numero razionale e di funzione esponenziale?
Oggi il professore ha spiegato le funzione esponenziali dicendo che non ne avrebbe dato una definizione rigorosa dal passaggio delle funzioni potenze a quelle esponenziali, così come non ha dato per il passaggio dai numeri razionali a quelli irrazionali, di cui ha detto che sono tutti quei numeri che non sono esprimibili tramite una frazione $a/b$ in quanto hanno la parte decimale che è infinita.
Quindi qual è una definizione rigorosa di numero razionale e di funzione esponenziale?
Risposte
La funzione esponenziale può essere vista come il limite della successione:
Si può dimostrare che è essa una successione strettamente monotòna crescente e limitata.
Per i numeri irrazionali non so se ci sia esattamente una definizione formale. C'è una semplice dimostrazione che mostra che il rapporto di due numeri m e n entrambi elevati al quadrato non è mai uguale a 2. (Irrazionalità della radice quadrata di due) che si può generalizzare affermando che qualunque radice di qualsivoglia numero naturale o è un numero naturale oppure è un numero irrazionale.
Si può dimostrare che è essa una successione strettamente monotòna crescente e limitata.
Per i numeri irrazionali non so se ci sia esattamente una definizione formale. C'è una semplice dimostrazione che mostra che il rapporto di due numeri m e n entrambi elevati al quadrato non è mai uguale a 2. (Irrazionalità della radice quadrata di due) che si può generalizzare affermando che qualunque radice di qualsivoglia numero naturale o è un numero naturale oppure è un numero irrazionale.
Dare una risposta sensata così su due piedi è un po' difficile, perchè non conosco come sono presentati gli argomenti a lezione.
Comunque... Se avete dato la costruzione assiomatica di \(\mathbb{R}\), si può mostrare che \(\mathbb{R}\) contiene i numeri razionali, cioè \(\mathbb{Q}\), e che \(\mathbb{R}\) è infinito e non numerabile; da ciò e dalla numerabilità di \(\mathbb{Q}\) segue che l'insieme dei numeri irrazionali \(\mathbb{I}:=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) è infinito e non numerabile... Da ciò ottieni che \(\mathbb{R}\) non solo contiene elementi non razionali, ma che gli elementi non razionali sono "molti di più" di quelli razionali.
D'altra parte, l'esistenza di numeri non razionali (già nota a Pitagora) si dimostra semplicemente, proprio come suggerisce Trivroach.
Per quanto riguarda l'esponenziale, credo che il problema sia innanzitutto la buona definizione della potenza ad esponente reale.
Un teorema che si enuncia, ma di solito non si dimostra, è il seguente:
e tale teorema rende lecita la seguente definizione:
Poi si dimostra che la potenza così definita gode di tutte le proprietà algebriche della potenza ad esponente razionale[nota]Tale potenza viene definita in precedenza usando il Teorema di Esistenza della Radice $n$-esima Aritmetica in modo da conservare le proprietà algebriche della potenza ad esponente intero.[/nota] (ad esempio, $x^{\alpha + \beta} = x^\alpha \cdot x^\beta$, $x^{\alpha \beta} = (x^\alpha)^\beta$, etc...).
Definita in questo modo la potenza ad esponente reale, fissato $a> 0$ ha senso istituire la funzione:
\[
\begin{split}
\mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\
x &\mapsto a^x
\end{split}
\]
la quale si chiama funzione esponenziale di base $a$ e si denota col simbolo \(\exp (a;\cdot)\) o semplicemente con \(a^x\).
***
Ovviamente, questa non è l'unica definizione possibile per la funzione esponenziale...
Una particolare l'ha già richiamata Trivroach ed è quella di Eulero, cioè:
\[
\mathbf{e}^x := \lim_n \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n\; ,
\]
che individua solo l'esponenziale neperiano. Per far sì che tale definizione funzioni, si devono provare prima alcuni risultati importanti della teoria, come il Criterio di Regolarità delle Successioni Monotone, il Teorema sul Limite delle Funzioni Composte, etc...
Un'altra definizione possibile è quella che passa per il Teorema di Esistenza ed Unicità Globale delle Soluzioni per il Problema di Cauchy relativo a Equazioni Differenziali Ordinarie Lineari del Primo Ordine: invocando tale teorema è possibile provare che esiste un'unica funzione \(u\) di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\) che risolva il problema:
\[
\left\{\begin{split}
u^\prime (x) &= u(x)\quad \text{, per } x\in \mathbb{R}\\
u(0) &= 1
\end{split}\right.
\]
e che gode delle proprietà:
\[
\begin{split}
u(x) &>0\\
u(x+y) &= u(x)\cdot u(y)\\
u(x\cdot y) &= \big( u(x)\big)^y\; ,
\end{split}
\]
etc... Tale funzione si chiama esponenziale neperiano e si denota col simbolo \(\mathbb{e}^x\).
Un'altra strada ancora si basa sull'uso della Teoria dell'Integrazione. In particolare, si definisce dapprima il logaritmo, mediante la posizione:
\[
\log x := \int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t\; ,
\]
poi si mostra che tale funzione (gode di tutte le usuali proprietà algebriche del logaritmo e che) è invertibile, dunque si pone per definizione \(\mathbf{e}^x = \text{funzione inversa del logaritmo calcolata in } x\).
Comunque... Se avete dato la costruzione assiomatica di \(\mathbb{R}\), si può mostrare che \(\mathbb{R}\) contiene i numeri razionali, cioè \(\mathbb{Q}\), e che \(\mathbb{R}\) è infinito e non numerabile; da ciò e dalla numerabilità di \(\mathbb{Q}\) segue che l'insieme dei numeri irrazionali \(\mathbb{I}:=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) è infinito e non numerabile... Da ciò ottieni che \(\mathbb{R}\) non solo contiene elementi non razionali, ma che gli elementi non razionali sono "molti di più" di quelli razionali.
D'altra parte, l'esistenza di numeri non razionali (già nota a Pitagora) si dimostra semplicemente, proprio come suggerisce Trivroach.
Per quanto riguarda l'esponenziale, credo che il problema sia innanzitutto la buona definizione della potenza ad esponente reale.
Un teorema che si enuncia, ma di solito non si dimostra, è il seguente:
Siano \(x\in \mathbb{R}\) un numero reale positivo ed \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Gli insiemi:
\[
\begin{split}
L(x,\alpha) &:= \{ x^r,\ r\in \mathbb{Q}\text{ e } r\leq \alpha\}\\
M(x,\alpha) &:= \{ x^s,\ s\in \mathbb{Q}\text{ e } s\geq \alpha\}
\end{split}
\]
sono separati e contigui.
e tale teorema rende lecita la seguente definizione:
Siano \(x,\alpha \in \mathbb{R}\) come nell'enunciato precedente.
L'unico numero separatore delle classi \(L(x,\alpha)\) ed \(M(x,\alpha)\) si denota col simbolo \(x^\alpha\) (che si legge "ics alla alfa") e si chiama potenza di base $x$ ed esponente reale $\alpha$.
Inoltre, per \(\alpha >0\), si pone $0^\alpha := 0$.
Poi si dimostra che la potenza così definita gode di tutte le proprietà algebriche della potenza ad esponente razionale[nota]Tale potenza viene definita in precedenza usando il Teorema di Esistenza della Radice $n$-esima Aritmetica in modo da conservare le proprietà algebriche della potenza ad esponente intero.[/nota] (ad esempio, $x^{\alpha + \beta} = x^\alpha \cdot x^\beta$, $x^{\alpha \beta} = (x^\alpha)^\beta$, etc...).
Definita in questo modo la potenza ad esponente reale, fissato $a> 0$ ha senso istituire la funzione:
\[
\begin{split}
\mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\
x &\mapsto a^x
\end{split}
\]
la quale si chiama funzione esponenziale di base $a$ e si denota col simbolo \(\exp (a;\cdot)\) o semplicemente con \(a^x\).
***
Ovviamente, questa non è l'unica definizione possibile per la funzione esponenziale...
Una particolare l'ha già richiamata Trivroach ed è quella di Eulero, cioè:
\[
\mathbf{e}^x := \lim_n \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n\; ,
\]
che individua solo l'esponenziale neperiano. Per far sì che tale definizione funzioni, si devono provare prima alcuni risultati importanti della teoria, come il Criterio di Regolarità delle Successioni Monotone, il Teorema sul Limite delle Funzioni Composte, etc...
Un'altra definizione possibile è quella che passa per il Teorema di Esistenza ed Unicità Globale delle Soluzioni per il Problema di Cauchy relativo a Equazioni Differenziali Ordinarie Lineari del Primo Ordine: invocando tale teorema è possibile provare che esiste un'unica funzione \(u\) di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\) che risolva il problema:
\[
\left\{\begin{split}
u^\prime (x) &= u(x)\quad \text{, per } x\in \mathbb{R}\\
u(0) &= 1
\end{split}\right.
\]
e che gode delle proprietà:
\[
\begin{split}
u(x) &>0\\
u(x+y) &= u(x)\cdot u(y)\\
u(x\cdot y) &= \big( u(x)\big)^y\; ,
\end{split}
\]
etc... Tale funzione si chiama esponenziale neperiano e si denota col simbolo \(\mathbb{e}^x\).
Un'altra strada ancora si basa sull'uso della Teoria dell'Integrazione. In particolare, si definisce dapprima il logaritmo, mediante la posizione:
\[
\log x := \int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t\; ,
\]
poi si mostra che tale funzione (gode di tutte le usuali proprietà algebriche del logaritmo e che) è invertibile, dunque si pone per definizione \(\mathbf{e}^x = \text{funzione inversa del logaritmo calcolata in } x\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo