Definizione max(min) sup(inf)
Vorrei sapere in linguaggio matematico la definizione di max, e sup per le successioni e funzioni. Non so come esprimere tale linguaggio in scritto.
Mentre per gli insiemi è ok.
Mentre per gli insiemi è ok.
Risposte
E' la stessa identica cosa: come insieme si prende l'immagine della successione/funzione, tutto qua.
come ha già detto fireball, il massimo (minimo) di una funzione è il massimo(minimo) del codominio della funzione (il codominio è un insieme a tutti gli effetti).
Lo stesso vale per inf e sup.
idem per le successioni.
Lo stesso vale per inf e sup.
idem per le successioni.
Posso scriverla così..
Funzione:
$Max di f=M, se M in f : M>=f(x) AA x in D$
$Sup di f=M, se M>=f(x) AA x in D$
$EE epsilon>0: AA x in D, x>M-epsilon$
Successione:
$Max di f=M, se M in a_n : M>=a_n AA n in N$
$Sup di f=M, se M>=a_n AA n in N$
$EE epsilon>0: AA n in N, n>M-epsilon$
Giusto?
Funzione:
$Max di f=M, se M in f : M>=f(x) AA x in D$
$Sup di f=M, se M>=f(x) AA x in D$
$EE epsilon>0: AA x in D, x>M-epsilon$
Successione:
$Max di f=M, se M in a_n : M>=a_n AA n in N$
$Sup di f=M, se M>=a_n AA n in N$
$EE epsilon>0: AA n in N, n>M-epsilon$
Giusto?
Una risposta?
Allora sia [tex]f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow C\subseteq\mathbb{R}[/tex] una funzione, si definiscono:
[tex]$\exists M=Max_Df\in C\mid\forall x\in D, f(x)\leq M$[/tex] (massimo)
[tex]$S=Sup_Df\in C\mid\begin{cases}\forall x\in D,\,C\ni f(x)0,\,\exists x(\epsilon)\in D\mid C\ni f(x(\epsilon))>S-\epsilon \end{cases}$[/tex] (estremo superiore)
Il massimo (minimo) di una funzione non è detto che esista sempre, l'estremo superiore (inferiore) di un insieme di numeri reali (i valori che assume [tex]f[/tex]) esiste sempre (per la completezza di [tex]\mathbb{R}[/tex]) ed è caratterizzato dall'essere il minimo (massimo) maggiorante (minorante) di tale insieme; cioè è il più piccolo (grande) numero che sia maggiore (minore) di tutti i numeri dell'insieme considerato.
Essendo per definizione una successione una funzione del tipo [tex]f:\mathbb{N}_0\rightarrow C\subseteq\mathbb{R}[/tex] ti sarà facile tradurre quanto scritto; ed inoltre potrai tradurre tutto ciò anche per il minimo e per l'estremo inferiore.
Quanto detto su minimo, massimo, estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali è estendibile ad ogni insieme non vuoto ordinato.
P.S.: Ti è chiaro il concetto di minimo e massimo di un insieme (di numeri reali) ordinato?
[tex]$\exists M=Max_Df\in C\mid\forall x\in D, f(x)\leq M$[/tex] (massimo)
[tex]$S=Sup_Df\in C\mid\begin{cases}\forall x\in D,\,C\ni f(x)
Il massimo (minimo) di una funzione non è detto che esista sempre, l'estremo superiore (inferiore) di un insieme di numeri reali (i valori che assume [tex]f[/tex]) esiste sempre (per la completezza di [tex]\mathbb{R}[/tex]) ed è caratterizzato dall'essere il minimo (massimo) maggiorante (minorante) di tale insieme; cioè è il più piccolo (grande) numero che sia maggiore (minore) di tutti i numeri dell'insieme considerato.
Essendo per definizione una successione una funzione del tipo [tex]f:\mathbb{N}_0\rightarrow C\subseteq\mathbb{R}[/tex] ti sarà facile tradurre quanto scritto; ed inoltre potrai tradurre tutto ciò anche per il minimo e per l'estremo inferiore.
Quanto detto su minimo, massimo, estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali è estendibile ad ogni insieme non vuoto ordinato.
P.S.: Ti è chiaro il concetto di minimo e massimo di un insieme (di numeri reali) ordinato?
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