Definizione limite destro e limite sinistro
Salve a tutti,
vorrei più una conferma sulle seguenti definizioni, avevo letto delle definizioni \( (\delta , \epsilon) \) di limite destro e limite sinistro, poi sfogliando il Prodi mi sono trovato delle definizioni più interessanti, in queste si faceva uso della restrizione, e volevo un ok da parte di qualche utente se sono corrette (aggiungo anche una proprietà più per sapere se l'enunciato è giusto/corretto):
Def.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R} \), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( (a \cap \mathbb{R}^{ \succ c}) \), dicesi che \( l \) è limite destro di \( \mathfrak{f} \) per \(x\) che tende a \( c \), ed indicasi con la scrittura \( \lim\limits_{x\to c^+} \mathfrak{f}(x) \), se
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}\restriction_{(a \cap \mathbb{R}^{ \succ c})}(x)\)
Def.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R} \), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( (a \cap \mathbb{R}^{ \prec c}) \), dicesi che \( l \) è limite sinistro di \( \mathfrak{f} \) per \(x\) che tende a \( c \), ed indicasi con la scrittura \(\lim\limits_{x\to c^-} \mathfrak{f}(x) \), se
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}\restriction_{(a \cap \mathbb{R}^{ \prec c})}(x)\)
Prop.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R}\), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( a \), allora
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}(x) \leftrightarrow l=\lim\limits_{x\to c^-} \mathfrak{f}(x)=\lim\limits_{x\to c^+} \mathfrak{f}(x) \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Perdonatemi, ma noto che in alcuni parti del testo le formule non sono allineate come si deve...
vorrei più una conferma sulle seguenti definizioni, avevo letto delle definizioni \( (\delta , \epsilon) \) di limite destro e limite sinistro, poi sfogliando il Prodi mi sono trovato delle definizioni più interessanti, in queste si faceva uso della restrizione, e volevo un ok da parte di qualche utente se sono corrette (aggiungo anche una proprietà più per sapere se l'enunciato è giusto/corretto):
Def.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R} \), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( (a \cap \mathbb{R}^{ \succ c}) \), dicesi che \( l \) è limite destro di \( \mathfrak{f} \) per \(x\) che tende a \( c \), ed indicasi con la scrittura \( \lim\limits_{x\to c^+} \mathfrak{f}(x) \), se
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}\restriction_{(a \cap \mathbb{R}^{ \succ c})}(x)\)
Def.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R} \), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( (a \cap \mathbb{R}^{ \prec c}) \), dicesi che \( l \) è limite sinistro di \( \mathfrak{f} \) per \(x\) che tende a \( c \), ed indicasi con la scrittura \(\lim\limits_{x\to c^-} \mathfrak{f}(x) \), se
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}\restriction_{(a \cap \mathbb{R}^{ \prec c})}(x)\)
Prop.: siano dati \( \mathfrak{f}: a \to \mathbb{R} \), ove \( a \subseteq \mathbb{R} \), ed \( c,l \in \mathbb{R}\), ove \( c \) è punto di accumulazione per \( a \), allora
1) \( l=\lim\limits_{x\to c} \mathfrak{f}(x) \leftrightarrow l=\lim\limits_{x\to c^-} \mathfrak{f}(x)=\lim\limits_{x\to c^+} \mathfrak{f}(x) \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Perdonatemi, ma noto che in alcuni parti del testo le formule non sono allineate come si deve...
Risposte
Le definizioni sono corrette.
Nella proposizione occorre richiedere, come ipotesi, che \(c\) sia di accumulazione sia per \(a\cap (c, +\infty)\) che per \(a\cap (-\infty, c)\), se si vuole che i limiti sinistro e destro abbiano senso.
Nella proposizione occorre richiedere, come ipotesi, che \(c\) sia di accumulazione sia per \(a\cap (c, +\infty)\) che per \(a\cap (-\infty, c)\), se si vuole che i limiti sinistro e destro abbiano senso.
@Rigel,
okok.. grazie mille della risposta e dell'aiuto!
Saluti
"Rigel":
Le definizioni sono corrette.
Nella proposizione occorre richiedere, come ipotesi, che \(c\) sia di accumulazione sia per \(a\cap (c, +\infty)\) che per \(a\cap (-\infty, c)\), se si vuole che i limiti sinistro e destro abbiano senso.
okok.. grazie mille della risposta e dell'aiuto!
Saluti
"Rigel":
Le definizioni sono corrette.
Ma le notazioni orride come al solito...
@gugo82,
Ma le notazioni orride come al solito...[/quote]
ehehe
okok prenderò nota, come scriveresti tu? 
Grazie della risposta intanto!
Saluti
"gugo82":
[quote="Rigel"]Le definizioni sono corrette.
Ma le notazioni orride come al solito...
[/quote]ehehe
okok prenderò nota, come scriveresti tu? Grazie della risposta intanto!
Saluti
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