Definizione Integrale di Lebesgue in astratto.
Ho un problema (a mio parere) grave con la definizione di integrale di Lebesgue. Ricordo alcune definizioni preliminari (riferimento "Real & Complex Analysis" di W. Rudin). [tex](X, \mathfrak{M},\mu)[/tex] denoterà uno spazio di misura.
Definizione: Una funzione [tex]s: X \rightarrow [0,+\infty[[/tex] si dice semplice se è misurabile (contoimmagini di aperti sono nella sigma-algebra) e [tex]s(X)[/tex] è un insieme finito.
Ogni funzione semplice può essere espressa come combinazione lineare di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili.
Definizione: Sia [tex]s=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \chi_{A_i}: X \rightarrow [0,+\infty[[/tex] semplice e [tex]E \in \mathfrak{M}[/tex]. Si definisce integrale di [tex]s[/tex] esteso ad [tex]E[/tex]: [tex]\int_E s \ \mathrm{d} \mu := \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(E \cap A_i)[/tex].
Definizione: Sia [tex]f:X \rightarrow [0,+\infty][/tex] misurabile ed [tex]E \in \mathfrak{M}[/tex]. Si definisce integrale di [tex]f[/tex] esteso ad [tex]E[/tex]: [tex]\int_E f \ \mathrm{d} \mu := \sup_{0 \leq s \leq f} \int_E s \ \mathrm{d}\mu[/tex].
Ho evidenziato il mio problema: non riesco a capire per quale motivo la f debba essere necessariamente misurabile. E dico che il mio problema è grave perché se sto studiando un po' di teoria della misura dovrei almeno sapere per quale motivo si misurano solo funzioni misurabili... Eppure non ne vengo a capo.
Definizione: Una funzione [tex]s: X \rightarrow [0,+\infty[[/tex] si dice semplice se è misurabile (contoimmagini di aperti sono nella sigma-algebra) e [tex]s(X)[/tex] è un insieme finito.
Ogni funzione semplice può essere espressa come combinazione lineare di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili.
Definizione: Sia [tex]s=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \chi_{A_i}: X \rightarrow [0,+\infty[[/tex] semplice e [tex]E \in \mathfrak{M}[/tex]. Si definisce integrale di [tex]s[/tex] esteso ad [tex]E[/tex]: [tex]\int_E s \ \mathrm{d} \mu := \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(E \cap A_i)[/tex].
Definizione: Sia [tex]f:X \rightarrow [0,+\infty][/tex] misurabile ed [tex]E \in \mathfrak{M}[/tex]. Si definisce integrale di [tex]f[/tex] esteso ad [tex]E[/tex]: [tex]\int_E f \ \mathrm{d} \mu := \sup_{0 \leq s \leq f} \int_E s \ \mathrm{d}\mu[/tex].
Ho evidenziato il mio problema: non riesco a capire per quale motivo la f debba essere necessariamente misurabile. E dico che il mio problema è grave perché se sto studiando un po' di teoria della misura dovrei almeno sapere per quale motivo si misurano solo funzioni misurabili... Eppure non ne vengo a capo.
Risposte
Una funzione si dice semplice quando è definita in uno spazio misurabile ed ivi assume solo un numero finito di valori(finiti) positivi o uguali a zero. Poi sarà misuaribile se gli insiemi in cui assume quei valori sono misurabili.
La risposta al tuo quesito sta nella premessa in grassetto, cioè stai parlando di definizioni. Il collegamento tra funzioni misurabili e funzioni continue avverrà con il teorema di Lusin un po' più avanti, a prescindere che le funzioni misurabili sono anche continue nel senso di borel.
PS
Cominciai a leggere real and complex analysis con le mie ridottissime nozioni di matematica ad ingegneria, scoprii che più in là del secondo capitolo, ma già solo i primi due capitoli erano per me pesantissimi, tornai indietro a colmare le non numerabili lacune
leggendo Principi di Analisi Matematica di W. Rudin a cui si fà ampio riferimento, in sostanza se non hai quelle premesse il Big Rudin non lo leggi.
La risposta al tuo quesito sta nella premessa in grassetto, cioè stai parlando di definizioni. Il collegamento tra funzioni misurabili e funzioni continue avverrà con il teorema di Lusin un po' più avanti, a prescindere che le funzioni misurabili sono anche continue nel senso di borel.
PS
Cominciai a leggere real and complex analysis con le mie ridottissime nozioni di matematica ad ingegneria, scoprii che più in là del secondo capitolo, ma già solo i primi due capitoli erano per me pesantissimi, tornai indietro a colmare le non numerabili lacune
leggendo Principi di Analisi Matematica di W. Rudin a cui si fà ampio riferimento, in sostanza se non hai quelle premesse il Big Rudin non lo leggi.
@regim: che casino ... 
Molto più semplicemente, giaorl, pensa alle funzioni semplici: se definisci un concetto di integrale per una classe di funzioni che contiene anche le funzioni semplici (positive), vorrai che questo concetto sia consistente con l'integrale che hai già definito per funzioni semplici. E come lo definisci l'integrale di una funzione semplice non misurabile?
Molto più semplicemente, giaorl, pensa alle funzioni semplici: se definisci un concetto di integrale per una classe di funzioni che contiene anche le funzioni semplici (positive), vorrai che questo concetto sia consistente con l'integrale che hai già definito per funzioni semplici. E come lo definisci l'integrale di una funzione semplice non misurabile?
@dissonance: Ahah! Hai ragione, mi hai illuminato d'immenso!
"dissonance":
@regim: che casino ...
OT
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