Definizione integrale
che cosa sono gli integrali, quando si usa?????
Risposte
Andiamo con ordine. Consideriamo una funzione continua
Una prima domanda che ci si può porre è la seguente: ammettendo che
Consideriamo ora la funzione
ma essendo
Lemma: Se
In realtà il risultato si può generalizzare ottenendo che, in generale , tutte le primitive di una funzione data differiscono per una costante. Possiamo allora definire il seguente insieme:
che è l'insieme di tutte le primitive di una funzione
che prende il nome di integrale indefinito della funzione
per cui pensando agli operatori
Dimmi se fin qui è chiaro, così procedo.
[math]f:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
. Senza farci troppi "problemi" (visto il corso di laurea che frequenti, possiamo seguire un approccio più "pratico" e meno formale) ci si può chiedere se esista una funzione [math]F:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
per la quale accada che [math]F'(x)=f(x),\ \forall\ x\in A[/math]
. Se una tale funzione siste, diremo che [math]F[/math]
è una primitiva della funzione [math]f[/math]
.Una prima domanda che ci si può porre è la seguente: ammettendo che
[math]f[/math]
primitive (le motivazioni per cui ciò è possibile sono molteplici: nel caso in esame, il fatto di supporre che la funzione di partenza sia continua è sufficiente), quante ce ne possono essere? Per rispondere a tale quesito, supponiamo che [math]F,\ G[/math]
siano primitive della funzione [math]f[/math]
e che l'insieme [math]A=(a,b)[/math]
sia un intervallo. Affinché le due funzioni sopra siano primitive, deve valere che[math]F'(x)=f(x),\ G'(x)=f(x),\ \forall x\in A[/math]
Consideriamo ora la funzione
[math]H(x)=G(x)-F(x)[/math]
: per essa si ha[math]H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,\ \forall\ x\in A[/math]
ma essendo
[math]A[/math]
un intervallo (e quindi un insieme connesso) possiamo affermare che [math]H(x)=c\in\mathbb{R}[/math]
, una costante. Abbiamo allora dimostrato il fatto seguente:Lemma: Se
[math]f[/math]
è continua su un insieme connesso, tutte le sue primitive differiscono per una costante.In realtà il risultato si può generalizzare ottenendo che, in generale , tutte le primitive di una funzione data differiscono per una costante. Possiamo allora definire il seguente insieme:
[math]P(f)=\\ \left\{G:A\rightarrow\mathbb{R}\ :\ G(x)=F(x)+c,\ c\in\mathbb{R},\ F'(x)=f(x)\ \forall\ x\in A\right\}[/math]
che è l'insieme di tutte le primitive di una funzione
[math]f[/math]
. In forma simbolica, si usa indicare tale insieme con il simbolo seguente[math]\int f(x)\ dx=F(x)+c[/math]
che prende il nome di integrale indefinito della funzione
[math]f[/math]
. In questo senso, si è soliti affermare che l'integrale, a meno di costanti additive, rappresenta l'operazione inversa di derivazione. Infatti, dal momento che se [math]F[/math]
è una primitiva di [math]f[/math]
possiamo scrivere [math]F'(x)=f(x)[/math]
, sostituendo nella simbologia precedente si ha[math]\int F'(x)\ dx=F(x)+c[/math]
per cui pensando agli operatori
[math]\int\ dx,\ \frac{d}{dx}='[/math]
come due oggetti che "modificano" la funzione a cui si applicano, si vede che essi funzionano l'uno come inverso dell'altro.Dimmi se fin qui è chiaro, così procedo.
allora se ho capito bene l'integrale è una operazione inversa di derivazione...
per esempio se f'(x) = 1 il suo integrale è x + c può essere????
per esempio se f'(x) = 1 il suo integrale è x + c può essere????
Esatto. Se il concetto ti è chiaro procedo con le regole principali e man mano vediamo di cosa dobbiamo discutere.
va bene....aspetto la tua risposta.
Iniziamo a vedere le prime proprietà degli integrali. Per prima cosa, osserviamo che
(linearità della derivata) implica una regola analoga per l'integrale:
linearità dell'integrale indefinito.
Questa regola e il "significato" dell'integralo di cui parlavamo prima, permette di determinare delle regole di integrazione immediate molto utili. Vediamo un paio di esempi e poi costruiamo una tabella.
1)
Osserviamo che
Se applichiamo l'integrale abbiamo
e quindi la regola seguente
2)
procedendo come prima ed integrando si ha la regola seguente
A questo punto, usando una tabella delle derivate delle funzioni elementari e "invertendola", si può costruire il seguente elenco degli integrali immediati:
Puoi utilizzare questa tabella per risolvere un gran numero di integrali per "decomposizione", cioè quelli in cui la funzione si può scrivere come somma di tante funzioni elementari.
Dimmi se fin qui è tutto chiaro.
[math]D[a\cdot f(x)+b\ g(x)]=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)[/math]
(linearità della derivata) implica una regola analoga per l'integrale:
[math]\int[a\cdot f(x)+b\cdot g(x)]\ dx=a\int f(x)\ dx+b\int g(x)\ dx[/math]
linearità dell'integrale indefinito.
Questa regola e il "significato" dell'integralo di cui parlavamo prima, permette di determinare delle regole di integrazione immediate molto utili. Vediamo un paio di esempi e poi costruiamo una tabella.
1)
[math]f(x)=x^n,\ n\ne -1[/math]
Osserviamo che
[math]D[x^{n+1}]=(n+1) x^n\ \Rightarrow\ x^n=\frac{1}{n+1}\cdot D[x^{n+1}][/math]
Se applichiamo l'integrale abbiamo
[math]\int x^n\ dx=\int\frac{1}{n+1}\cdot D[x^{n+1}]\ dx=\frac{1}{n+1}\int D[x^{n+1}]\ dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c[/math]
e quindi la regola seguente
[math]\int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c[/math]
2)
[math]f(x)=1/x[/math]
. Poiché [math]D[\ln|x|]=\frac{1}{x}[/math]
, procedendo come prima ed integrando si ha la regola seguente
[math]\int\frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+c[/math]
A questo punto, usando una tabella delle derivate delle funzioni elementari e "invertendola", si può costruire il seguente elenco degli integrali immediati:
[math]\int x^\alpha\ dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c,\qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\ne -1\\
\int\frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+c\\ \int e^x\ dx=e^x+c\\ \int a^x\ dx=\frac{a^x}{\ln a},\qquad a>0\\ \int\sin x\ dx=-\cos x+c\\ \int\cos x\ dx=\sin x+c\\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin x+c\\ \int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan x+c[/math]
\int\frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+c\\ \int e^x\ dx=e^x+c\\ \int a^x\ dx=\frac{a^x}{\ln a},\qquad a>0\\ \int\sin x\ dx=-\cos x+c\\ \int\cos x\ dx=\sin x+c\\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin x+c\\ \int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan x+c[/math]
Puoi utilizzare questa tabella per risolvere un gran numero di integrali per "decomposizione", cioè quelli in cui la funzione si può scrivere come somma di tante funzioni elementari.
Dimmi se fin qui è tutto chiaro.
fino qui ho capito che quando c'ho un costante posso portare fuori senza problemi ma sinceramente non ho capito bene l'esempi che hai fatto???
cioè la funzione è:
perchè dopo lo scrivi[/math]x^ n+1[/math] non deve essere x^1
cioè la funzione è:
[math]f(x) = x^n , n ≠ -1[/math]
perchè dopo lo scrivi[/math]x^ n+1[/math] non deve essere x^1
Guarda bene quello che ho fatto. ho sfruttato la regola per cui
[math]\int F'(x)\ dx=F(x)+c[/math]
. Visto che voglio capire quanto vale l'integrale di [math]x^n[/math]
devo partire da una funzione la cui derivata mi dia tale valore. La migliore candidata è proprio [math]x^{n+1}[/math]
.
ahhhh ho capito grazieeee,allora stampo la tabella quello k hai scrito così mi può aiutare a risolvere altri esercizi....
Sì, quella tabella è fondamentale. ma ci sono altre regole di integrazione da imparare per risolvere gli esercizi in generale. hai un libro da cui prendere esercizi?
Si c'ho il libro che si chiama nuovi lineamenti di matematica, vuoi k ti scrivo qualche esercizio????????
No, no, volevo solo sapere se avevi materiale. Con quello che ti ho scritto fino ad ora, puoi risolvere i primi esercizi. Più tardi ti posto alcune regole che vengono fuori direttamente da queste e poi parliamo di integrali più complicati. Intanto mi manderesti delle tracce che vi fanno svolgere su questi argomenti, così capisco fino a dove arrivare? E anche un programma relativo agli integrali.
Ti allego la foto degli esercizi k sto facendo no lo so fare il5 e il 7 mi puoi spiegare come cavolo si fa un esercizio del genere....
Mi sembra che stai andando bene: quando usi la regola dell'integrale delle potenze, cerca sempre di spezzare in somme di potenze diverse. Abbiamo
Stessa cosa per il 7
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Però quando pubblichi una foto, per favore, mettila dritta, se non devo spezzarmi l'atlante e la cervicale per leggerla! :asd
[math]\int\frac{x^2}{\sqrt{x}}\ dx=\int x^{2-1/2}\ dx=\int x^{3/2}\ dx=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}+c=\frac{2x^{5/2}}{5}+c[/math]
Stessa cosa per il 7
[math]\int\frac{1+x^3}{2x^2}\ dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x^2}+\frac{x^3}{x^2}\right)\ dx=\frac{1}{2}\left[\int x^{-2}\ dx+\int x\ dx\right]=\\ \frac{1}{2}\left[\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^2}{2}\right]+c=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}\right]+c=\frac{x^3-2}{4x}+c[/math]
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Però quando pubblichi una foto, per favore, mettila dritta, se non devo spezzarmi l'atlante e la cervicale per leggerla! :asd
chiedo scusa :P ti volevo chiedere se mi puoi scrivere 2 o 3 esercizi qua senza soluzione(xk voglio risolvere io) così per verificare se ho capito bene questa parte del'integrale o meno... tu k dici????
Continuo con alcune regole di integrazione "immediata" che discendono da quelle descritte in precedenza usando la regola di derivazione delle funzioni composte.
1) sia
Usando ragionamenti simili si può far vedere che valgono le seguenti regole
e così di seguito.
Infine una regola d'oro, fondamentale: supponiamo che la funzione non dipenda semplicemente dalla x, ma da una cosa del tipo
essendo
Esempio:
dove ho usato la regola di integrazione 1) (infatti
1) sia
[math]G(x)=[f(x)]^n[/math]
: allora sappiamo che [math]g(x)=G'(x)=nf'(x)[f(x)]^{n-1}[/math]
. Pertanto vale la regola[math]\int f'(x)[f(x)]^\alpha\ dx=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c[/math]
Usando ragionamenti simili si può far vedere che valgono le seguenti regole
[math]\int\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\log|f(x)|+c\\ \int f'(x) e^{f(x)}\ dx=e^{f(x)}+c\\ \int f'(x)\sin[f(x)]\ dx=-\cos[f(x)]+c[/math]
e così di seguito.
Infine una regola d'oro, fondamentale: supponiamo che la funzione non dipenda semplicemente dalla x, ma da una cosa del tipo
[math]ax[/math]
. Le regole scritte prima si possono ancora applicare, con una piccola variante: moltiplicare e dividere la funzione per [math]a[/math]
. Infatti, se consideriamo la funzione [math]g(x)=f(ax)[/math]
la sua derivata risulta [math]g'(x)=a f'(ax)[/math]
(sempre dalla regola di derivazione delle funzioni composte). Ne segue che[math]\int f(ax)\ dx=\frac{1}{a}\cdot F(ax)+c[/math]
essendo
[math]F[/math]
una primitiva di [math]f[/math]
.Esempio:
[math]\int(3x+4)^5\ dx=\frac{1}{3}\int 3(3x+4)^5\ dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x+4)^6}{6}+c[/math]
dove ho usato la regola di integrazione 1) (infatti
[math]3=D[3x+4][/math]
).
puoi risolvere gli esercizi ai punti 1 e 2 di questo file: http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/pdf/integrali-proposti.pdf
gli esercizi del punto 1 sono tutti quanti con log e frazioni con il denominatore un quadrato o un cubico che ovviamente no lo so fare, già il testo k mi mette in ansia immagina l'esercizio....
Aggiunto 7 minuti più tardi:
questo è il primo esercizio del secondo punto...
Aggiunto 7 minuti più tardi:
questo è il primo esercizio del secondo punto...
Prendiamo il primo del punto 1:
Per cui possiamo applicare la prima formula scritta sopra ottenendo
Devi imparare a riflettere sul come usare le formule. Prova con gli altri e scrivi i risultati che ottieni.
Aggiunto 26 minuti più tardi:
Perfetto. Puoi anche semplificare i 3.
[math]\int\frac{\log^3 x}{x}\ dx[/math]
. Possiamo osservare che [math]1/x=D[\log x][/math]
e che, inoltre, se indichiamo con [math]f(x)=\log x[/math]
la funzione da integrare diventa[math]\int [f(x)]^3\cdot f'(x)\ dx[/math]
Per cui possiamo applicare la prima formula scritta sopra ottenendo
[math]\int\frac{\log^3 x}{x}\ dx=\frac{[\log x]^4}{4}+c=\frac{1}{4}\log^4 x+c[/math]
Devi imparare a riflettere sul come usare le formule. Prova con gli altri e scrivi i risultati che ottieni.
Aggiunto 26 minuti più tardi:
Perfetto. Puoi anche semplificare i 3.
[math]\int \frac{dx}{xlog^3 x} \\ \int \frac{1}{xlog^3 x}dx[/math]
allora qua posso fare così lo so che 1 che sta al nominatore è la derivata del x che sta al denominatore
No, considera che c'è il logaritmo. Ragiona come ho fatto io nell'altro esempio.
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