Definizione integrale

[Hajra]

che cosa sono gli integrali, quando si usa?????

[Hajra]

quindi può essere

[math]ln|log^3 x |+ c[/math]

Aggiunto 18 minuti più tardi:

ok rifacciamo

[math]\int \frac{dx}{xlog^3x}[/math]

sappiamo k la derivata di logx = 1/x e la derivata di x è 1
se la formula è questo

[math]\int [f(x)]^3 * f'(x)dx[/math]

[ciampax]

Parliamo ora del primo dei due metodi importanti relativi al calcolo degli integrali.

Integrazione per sostituzione
Negli integrali, spesso, non si riesce a riconoscere la tipologia (e quindi la regola giusta da apllicare al fine di risolverlo) a causa della complessità con cui si presenta l'integrale stesso. Ciononostante, questo metodo permette non solo di semplificare l'integrale in questione ma, anche, di risolverlo in maniera più agevole.

Teorema: Sia

[math]f(x):A\rightarrow\mathbb{R}[/math]

una funzione continua e sia

[math]\phi:B\rightarrow A[/math]

una funzione continua e derivabile e monotona (strettamente crescente o strettamente decrescente). Posto

[math]x=\phi(t)[/math]

vale la regola seguente

[math]\int f(x)\ dx=\int f(\phi(t))\cdot\phi'(t)\ dt[/math]

Ora, di solito quando si vede questa formula si rimane un po' sconcertati, perché pare che l'integrale da "semplice" diventi più complicato. In realtà, quando si usa questo metodo, si fa il passaggio opposto, ciò si passa dall'integrale a destra a quello a sinistra, anche se a prima vista così non sembra. Facciamo qualche esempio, per mettere in luce l'utilità di questa regola.


1)

[math]\int(6x+4)^{7}\ dx[/math]

. Poniamo

[math]t=6x+4[/math]

: derivando ambo i membri otteniamo

[math]1\cdot dt=6\cdot dx[/math]

da cui

[math]dx=\frac{1}{6}\ dt[/math]

e quindi l'integrale diventa

[math]\int t^7\cdot\frac{1}{6}\ dt=\frac{1}{6}\int t^7\ dt=\frac{1}{6}\cdot\frac{t^8}{8}+c=\frac{(6x+4)^8}{48}+c[/math]

Questo esempio mette in luce una grande potenzialità della formula: potresti calcolare l'integrale anche senza essa, ma dovresti ricordarti di moltiplicare e dividere per il 6, cosa che spesso si dimentica quando si svolge l'esercizio. Così, invece, non hai alcun problema di sorta.


2)

[math]\int\frac{\log^3 x}{x}\ dx[/math]

. Questo è l'integrale di ieri, che si può risolver eper via immediata facendo un po' di ragionamenti. Applichiamo invece la seguente sostituzione:

[math]t=\log x[/math]

, si ha allora, derivando da ambo le parti,

[math]1\cdot dt=\frac{1}{x}\ dx[/math]

. Ma allora possiamo scrivere

[math]\int\frac{\log^3}{x}\ dx=\int \log^3 x\ cdot\frac{1}{x}\ dx=\int t^3\ dt=\frac{t^4}{4}+c=\frac{\log^4 x}{4}+c[/math]

Ecco, questo esempio mostra la potenza di questo metodo: senza dovevi fare tutta una serie di ragionamenti, usandolo, tutte quelle cose di vedere chi è la funzione e chi è la derivata, non servono, e la cosa viene diretta.