Definizione integrale
Salve, scusate la lunghezza del post vorrei chiedere un chiarimento sulla definizione di integrale. Con riferimento a questo esercizio di fisica:
Bisogna calcolare il potenziale prodotto da un disco carico uniformemente.
Io dico che il potenziale del disco è uguale alla somma del potenziale prodotto da tutti gli "infiniti" (infiniti nel senso ceh io divido tutto il disco in N anelli e N tende a infinito) anelli di spessore INFINITESIMO (infinitesimo nel senso che lo spessore di ogni anello TENDE A 0). Analogamente il potenziale di ogni "anellino" è uguale alla somma degli infiniti tratti di filo di lunghezza INFINITESIMA.
Siccome non riesco a vedere errori non ho nessun problema a scrivere $V=\int int dvdr$ esteso al disco, ovvero $V=\int_0^R(\int_^dv)dr$ con
l'integrale più interno esteso sull'anello.
Quello che mi è stato contestato come errore è il fatto che se scrivo integrale di dvdr significa che sto moltiplicando un potenziale per una
lunghezza e questo non è giusto (anche epr quanto riguarda le unità di misura).
A favore della mia tesi posso dire che:
se scrivo $int dv$ in realtà voglio intendere $int 1dv$ ovvero l'area che sta sotto $f(v)=1$ che è proprio pari a v. Per intenderci quando mi hanno spiegato gli integrali io ho capito che (dopo aver definito S e s se esiste un unico elemento c che separa i due insiemi DICO che la funzione è integrabile e che c è l'integrale della funzione rispetto alla variabile scelta e lo INDICO con $int F(x,....)dx$. Siccome non ho ancora affrontato tutta le teoria dei differenziali credo che questa schematizzazione sia relativamente corretta. Quindi quando ho scritto $int (int dv) dr$ non stavo eseguendo nessun prodotto ma semplicemente indicando le variabili di integrazione: cioè volevo dire che sto facendo variare prima dv lungo un anello e poi il risultato di questo integrale lo faccio variare lungo r.
Potete gentilmente spiegarmi dove è il mio errore?
Grazie
Bisogna calcolare il potenziale prodotto da un disco carico uniformemente.
Io dico che il potenziale del disco è uguale alla somma del potenziale prodotto da tutti gli "infiniti" (infiniti nel senso ceh io divido tutto il disco in N anelli e N tende a infinito) anelli di spessore INFINITESIMO (infinitesimo nel senso che lo spessore di ogni anello TENDE A 0). Analogamente il potenziale di ogni "anellino" è uguale alla somma degli infiniti tratti di filo di lunghezza INFINITESIMA.
Siccome non riesco a vedere errori non ho nessun problema a scrivere $V=\int int dvdr$ esteso al disco, ovvero $V=\int_0^R(\int_^dv)dr$ con
l'integrale più interno esteso sull'anello.
Quello che mi è stato contestato come errore è il fatto che se scrivo integrale di dvdr significa che sto moltiplicando un potenziale per una
lunghezza e questo non è giusto (anche epr quanto riguarda le unità di misura).
A favore della mia tesi posso dire che:
se scrivo $int dv$ in realtà voglio intendere $int 1dv$ ovvero l'area che sta sotto $f(v)=1$ che è proprio pari a v. Per intenderci quando mi hanno spiegato gli integrali io ho capito che (dopo aver definito S e s se esiste un unico elemento c che separa i due insiemi DICO che la funzione è integrabile e che c è l'integrale della funzione rispetto alla variabile scelta e lo INDICO con $int F(x,....)dx$. Siccome non ho ancora affrontato tutta le teoria dei differenziali credo che questa schematizzazione sia relativamente corretta. Quindi quando ho scritto $int (int dv) dr$ non stavo eseguendo nessun prodotto ma semplicemente indicando le variabili di integrazione: cioè volevo dire che sto facendo variare prima dv lungo un anello e poi il risultato di questo integrale lo faccio variare lungo r.
Potete gentilmente spiegarmi dove è il mio errore?
Grazie
Risposte
Scusate se riapro questa discussione.
Siccome in questi giorni sto studiando più approfonditamente gli integrali doppi e qualche cenno sugli integrali in $R^n$, avrei ancora più bisogno di chiarire il dubbio postato nel mio precedente messaggio.
Chiedo preventivamente scusa se sto andando contro lo spirito o peggio ancora il regolametno del forum.
Come ulteriore supporto a quanto affermo dico che quando si risolvono integrali per sostituzione lo scrivere $dx=...$ per poi andarlo a sostituire nell'integrale originale è concettualmente sbagliato, anche se comunemente accettato e il moltiplicare per la derivata deriva dal teorema sulla derivata delle funzioni composte (non credo siano necessari ulteriori dettagli). E questa cosa è stata energicamente sottolineata dal mio prof di analisi uno (sempre supponendo che non abbia capito male io)
Ancora un grazie a chi vorrà darmi una mano.
Siccome in questi giorni sto studiando più approfonditamente gli integrali doppi e qualche cenno sugli integrali in $R^n$, avrei ancora più bisogno di chiarire il dubbio postato nel mio precedente messaggio.
Chiedo preventivamente scusa se sto andando contro lo spirito o peggio ancora il regolametno del forum.
Come ulteriore supporto a quanto affermo dico che quando si risolvono integrali per sostituzione lo scrivere $dx=...$ per poi andarlo a sostituire nell'integrale originale è concettualmente sbagliato, anche se comunemente accettato e il moltiplicare per la derivata deriva dal teorema sulla derivata delle funzioni composte (non credo siano necessari ulteriori dettagli). E questa cosa è stata energicamente sottolineata dal mio prof di analisi uno (sempre supponendo che non abbia capito male io)
Ancora un grazie a chi vorrà darmi una mano.
Penso che in realtà il problema sia solo di interpretione fisica... il potenziale è:
$V= int_{D} dv = \int_{0}^{2pi} int_{0}^{R} v(theta,r) d theta dr$
ovvero un integrale definito su un disco. La risoluzione matematica da te proposta è sbagliata proprio per l'errata visione di questo integrale, la sua interpretazione fisica, infatti, è quella che ti è stata contestata.
Non so se sono stato sufficientemente chiaro
$V= int_{D} dv = \int_{0}^{2pi} int_{0}^{R} v(theta,r) d theta dr$
ovvero un integrale definito su un disco. La risoluzione matematica da te proposta è sbagliata proprio per l'errata visione di questo integrale, la sua interpretazione fisica, infatti, è quella che ti è stata contestata.
Non so se sono stato sufficientemente chiaro
Grazie per la velocità e scusami se approfitto ancora della disponibilità.
Ma non riesco a capire.
L'integrale da te scritto non dovrebbe essere al contrario?cioè prima tra 0 e R e poi tra 0 e 360? È proprio questo il mio errore?
Per quanto riguarda poi l'interpretazione fisica scusate ma secondo me non si deve INTERPRETARE DA UN PUNTO DI VISTA FISICO L'INTEGRALE. Cioè per la fisica il potenziale è il lavoro che si dovrebbe compiere per spostare una carica di prova...diviso per la stessa carica di prova e vale il principio di sovrapposizione. Il fatto poi di calcolare il potenziale di una distribuzione di carica con l'integrale è un fatto matematico.
Comunque la definizione che ho dato di integrale nel mio primo messaggio è giusta? Sto studiando gli integrali doppi e ho qualche difficoltà a "vedere" le cose.
Potresti darmi qualche altra spiegazione?
Grazie ancora
Feliciano
Ma non riesco a capire.
L'integrale da te scritto non dovrebbe essere al contrario?cioè prima tra 0 e R e poi tra 0 e 360? È proprio questo il mio errore?
Per quanto riguarda poi l'interpretazione fisica scusate ma secondo me non si deve INTERPRETARE DA UN PUNTO DI VISTA FISICO L'INTEGRALE. Cioè per la fisica il potenziale è il lavoro che si dovrebbe compiere per spostare una carica di prova...diviso per la stessa carica di prova e vale il principio di sovrapposizione. Il fatto poi di calcolare il potenziale di una distribuzione di carica con l'integrale è un fatto matematico.
Comunque la definizione che ho dato di integrale nel mio primo messaggio è giusta? Sto studiando gli integrali doppi e ho qualche difficoltà a "vedere" le cose.
Potresti darmi qualche altra spiegazione?
Grazie ancora
Feliciano
Sì dovevo scriverlo al contrario...
il punto è che tu specifichi che $v$ (dal modo in cui tu specifichi l'integrale) dipende solo da $r$... penso che il problema sia quello...
il punto è che tu specifichi che $v$ (dal modo in cui tu specifichi l'integrale) dipende solo da $r$... penso che il problema sia quello...
Ciao! Intervengo per la questione del $dx$ riguardo alla formula del cambiamento di variabile. Il fatto che non si capisca perché, all'atto pratico, si scriva $t=\phi(x) \=> dt=\phi'(x)dx$ è un classico, dovuto al fatto che questa scrittura trova spiegazione in teorie dell'integrazione più generali rispetto a quella di Riemann. (Ce ne sono parecchie, qui ne scrivo una che mi pare fornisca una prima risposta, è possibile che qualcuno più esperto di me abbia delle precisazioni da fare).
Mi riferisco all'integrale di Riemann-Stieltjes, un oggetto di questo tipo: $int_a^b f(x)\ dalpha(x)$.
So che si può definire in vari modi, abbastanza avanzati, ma anche (in versione semplificata) in analogia con l'integrale di Riemann.
(Questa definizione l'ho letta sul Rudin, Principi di analisi matematica, capitolo 6, qui cito "a memoria"):
Questo integrale verifica molte proprietà dell'integrale di Riemann, tranne i teoremi fondamentali del calcolo integrale (forse è questo il motivo per cui non si insegna ai primi anni). La proprietà che spiega il motivo per cui si usa la notazione $dx$ è questa:
se $alpha$ è una funzione differenziabile, e $f$ è R-S integrabile rispetto ad $alpha$, allora: $int_a^bf(x)\ dalpha(x)$=$int_a^bf(x)alpha'(x)\ dx$.
Tra l'altro con questo integrale si può definire una formula per il cambiamento di variabile in maniera "intrinseca", senza cioè passare dal Teorema fondamentale del calcolo, (cosa necessaria per l'integrale di Riemann):
se $phi:[A,B]\to[a,b]$ è strett.crescente, allora $int_a^bf(x)\ dalpha(x)=int_A^Bf(phi(y))\ d(alpha\circphi)(y)$, e il primo integrale esiste se e solo se esiste il secondo. Se poi $alpha(x)=x$ e $phi$ è derivabile, ritroviamo la formula che conosciamo.
E' interessante notare che non abbiamo dovuto supporre che $f$ fosse continua, e neanche che $phi$ fosse di classe $C^1$. Sono inoltre convinto che le ipotesi di monotonia su $alpha$ e $phi$ possano essere eliminate a patto di definire l'integrale in modo più preciso (come limite di una rete, e qui però mi fermo perché non conosco abbastanza questo argomento).
Mi farebbe piacere sentire la vostra opinione. Anche io mi sono sempre chiesto perché si usasse la notazione $dx$. L'ho anche chiesto ad alcuni professori che, sostanzialmente, mi hanno risposto picche ("lo capirà proseguendo gli studi"). Questo mi ha spinto a fare una ricerca autonoma, e qui ho scritto il risultato. Grazie per aver letto fin qui!
Mi riferisco all'integrale di Riemann-Stieltjes, un oggetto di questo tipo: $int_a^b f(x)\ dalpha(x)$.
So che si può definire in vari modi, abbastanza avanzati, ma anche (in versione semplificata) in analogia con l'integrale di Riemann.
(Questa definizione l'ho letta sul Rudin, Principi di analisi matematica, capitolo 6, qui cito "a memoria"):
Sia $f:[a,b]\toRR$ una funzione limitata, $alpha:[a,b]\toRR$ una funzione che per semplicità supponiamo monotona crescente. Ad ogni $P={t_0,ldots,t_n}$ partizione di $[a,b]$ associamo:
$U(P,f,alpha)=sum_{i=1}^n\text{sup}\ f([t_{i-1},t_i])*[alpha(t_i)-alpha(t_{i-1})]$ (somma parziale superiore)
$L(P,f,alpha)=sum_{i=1}^n\text{inf}\ f([t_{i-1},t_i])*[alpha(t_i)-alpha(t_{i-1})]$ (somma parziale inferiore)
Risulta che le classi ${U(P,f,alpha)}$, ${L(P,f,alpha)}$ sono sempre separate, possiamo perciò definire (come per l'integrale di Riemann) l'integrale superiore e l'integrale inferiore come inf e sup rispettivamente di queste due classi. Se questi ultimi coincidono, la funzione di dice integrabile secondo Riemann-Stieltjes in [a,b] e $alpha$ prende il nome di funzione integratrice.
Questo integrale verifica molte proprietà dell'integrale di Riemann, tranne i teoremi fondamentali del calcolo integrale (forse è questo il motivo per cui non si insegna ai primi anni). La proprietà che spiega il motivo per cui si usa la notazione $dx$ è questa:
se $alpha$ è una funzione differenziabile, e $f$ è R-S integrabile rispetto ad $alpha$, allora: $int_a^bf(x)\ dalpha(x)$=$int_a^bf(x)alpha'(x)\ dx$.
Tra l'altro con questo integrale si può definire una formula per il cambiamento di variabile in maniera "intrinseca", senza cioè passare dal Teorema fondamentale del calcolo, (cosa necessaria per l'integrale di Riemann):
se $phi:[A,B]\to[a,b]$ è strett.crescente, allora $int_a^bf(x)\ dalpha(x)=int_A^Bf(phi(y))\ d(alpha\circphi)(y)$, e il primo integrale esiste se e solo se esiste il secondo. Se poi $alpha(x)=x$ e $phi$ è derivabile, ritroviamo la formula che conosciamo.
E' interessante notare che non abbiamo dovuto supporre che $f$ fosse continua, e neanche che $phi$ fosse di classe $C^1$. Sono inoltre convinto che le ipotesi di monotonia su $alpha$ e $phi$ possano essere eliminate a patto di definire l'integrale in modo più preciso (come limite di una rete, e qui però mi fermo perché non conosco abbastanza questo argomento).
Mi farebbe piacere sentire la vostra opinione. Anche io mi sono sempre chiesto perché si usasse la notazione $dx$. L'ho anche chiesto ad alcuni professori che, sostanzialmente, mi hanno risposto picche ("lo capirà proseguendo gli studi"). Questo mi ha spinto a fare una ricerca autonoma, e qui ho scritto il risultato. Grazie per aver letto fin qui!
Grazie per l'intervento ma sono uno studente del primo anno di ingegneria biomedica e seguo a stento la tua spiegazione anche se so dell'esistenza di altri tipi di integrali. In ogni caso diciamo che non ho problemi ad ACCETTARE la scrittura $intdx$ dove intendo $intdx=c$ ovvero l'unico elemento (se esite) che separa Sp e sp. Cioè per le mie conoscenze al posto di questo SIMBOLO avrei potuto usare qualsiasi altra cosa (il perchè si usa questo dx lo capirò in seguito). Per quanto riguarda gli integrali per sostituzione io ho studiato proprio un teorema che dice con f continua e g derivabile con derivata continua allora $intf(g(t))dx=intf(g(t))g'(t)dt$; se si tratta di un approccio un po' diverso dal solito posso postare la dimostrazione di questo teorema che comunque tiene conto della derivata delle funzioni composte.
C'è qualcosa di sbagliato in questo approccio?
Comunque mi scuso ma nonostante la vostra grande disponibilità non sono riuscito a capire le vostre spiegazioni riguardo il mio quesito.
C'è qualcosa di sbagliato in questo approccio?
Comunque mi scuso ma nonostante la vostra grande disponibilità non sono riuscito a capire le vostre spiegazioni riguardo il mio quesito.
"Feliciano":
...dimostrazione di questo teorema che comunque tiene conto della derivata delle funzioni composte.
C'è qualcosa di sbagliato in questo approccio?...
Assolutamente no, infatti anche nel mio post (che oggettivamente è molto lungo, spero non ti abbia confuso le idee) verso la fine ho scritto che, se usiamo l'integrale di Riemann, non riusciamo a fare di meglio, e comunque per le applicazioni basta e avanza.
No no il tuo post non mi ha confuso anche se nn riesco a seguirlo tutto perfettamente.
Comunque diciamo che so cos'è un integrale!
Resta quindi il fatto che non riesco a capire cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto nel mio primo post.
In ogni caso adesso cerco di andare avanti con la teoria sugli integrali doppi; nel frattempo ringrazio tutti per i chiarimenti dati. Se poi qualcuno volesse spendere qualche ulteriore parola per spiegarmi l'errore nel mio primo post...ne sarei solo felice.
Un saluto a tutti
Comunque diciamo che so cos'è un integrale!
Resta quindi il fatto che non riesco a capire cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto nel mio primo post.
In ogni caso adesso cerco di andare avanti con la teoria sugli integrali doppi; nel frattempo ringrazio tutti per i chiarimenti dati. Se poi qualcuno volesse spendere qualche ulteriore parola per spiegarmi l'errore nel mio primo post...ne sarei solo felice.
Un saluto a tutti
mah, rileggendo rapidamente l'unica cosa che mi sembra diversa tra il tuo integrale e quello di Lord K è l'integrale sull'anello. Se scrivi $int_{\gamma}dv$ che cosa intendi? Che funzione è $v$?
Io ho inteso che fosse la funzione di distribuzione di carica superficiale...
Ringrazio tutti
Comunque riguardandolo con attenzione ci sarà sicuramente qualche errore nella mia impostazione. Comunque l'importante è che mi avete confermato il mio concetto di integrale e il fatto che dx NON è una quantità ma un simbolo.
Un saluto
Comunque riguardandolo con attenzione ci sarà sicuramente qualche errore nella mia impostazione. Comunque l'importante è che mi avete confermato il mio concetto di integrale e il fatto che dx NON è una quantità ma un simbolo.
Un saluto
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