Definizione Integrale
Ciao a tutti,
vorrei sapere se è possibile utilizzare la definizione dell'integrale per arrivare all'integrale di una funzione senza sfruttare il fatto che l'integrale di una funzione f è quella funzione g che derivata diventa f.
In altre parole, mentre la derivata nasceva dal limite di h->0 di (f(c+h)-f(c))/h, e quindi dal limite del rapporto incrementale, da dove nasce invece l'integrale?
Molti risponderanno che nasce dal limite per n->infinito della sommatoria che va da i=1 a i=n di f(¥)*(xi-xi-1) con ¥ che è un punto qualsiasi dell'intervallo. Se considero l'intervallo come (b-a)/n sento di avvicinarmi alla soluzione. Il fatto è che poi arriverei a qualcosa simile a un limite con n->infinito della sommatoria di ai^2/n^3 se per esempio voglio calcolare l'integrale della funzione x^2. Ma è possibile risolvere un limite del genere? Oppure si tratta di una definizione "inutilizzabile"?
Grazie per le risposte.
vorrei sapere se è possibile utilizzare la definizione dell'integrale per arrivare all'integrale di una funzione senza sfruttare il fatto che l'integrale di una funzione f è quella funzione g che derivata diventa f.
In altre parole, mentre la derivata nasceva dal limite di h->0 di (f(c+h)-f(c))/h, e quindi dal limite del rapporto incrementale, da dove nasce invece l'integrale?
Molti risponderanno che nasce dal limite per n->infinito della sommatoria che va da i=1 a i=n di f(¥)*(xi-xi-1) con ¥ che è un punto qualsiasi dell'intervallo. Se considero l'intervallo come (b-a)/n sento di avvicinarmi alla soluzione. Il fatto è che poi arriverei a qualcosa simile a un limite con n->infinito della sommatoria di ai^2/n^3 se per esempio voglio calcolare l'integrale della funzione x^2. Ma è possibile risolvere un limite del genere? Oppure si tratta di una definizione "inutilizzabile"?
Grazie per le risposte.
Risposte
Esistono molti “integrali diversi” che possono integrare funzioni differenti. Ovvero il concetto di integrale possiede molte definizioni. È interessante notare che se una funzione possiede una derivata non è affatto detto che la funzione derivata sia integrabile e che quindi abbia senso parlare del suo integrale (per esempio leggi l'introduzione storica di questo http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... k-Kurzweil ).
La definizione che penso tu abbia sentito è immagino una delle equivalenti definizioni dell'integrale di Riemann. Se una funzione è Riemann integrabile su un compatto è ovviamente possibile usare quella definizione per calcolare l'integrale (è quello che si fa quando si integra numericamente). Se il tuo scopo è usarlo in una dimostrazione allora devi tenere conto che il limite potrebbe non essere facilissimo da calcolare.
Nel caso di \(\displaystyle x^2 \) potresti partire da \(\displaystyle F(x) - F(0) = \int_{0}^x t^2\, dt \). A questo punti noti che, se tu prendi \(\displaystyle n \) punti equidistanti[nota]Consideri il punto finale degli intervalli che formano la partizione[/nota]) ha che \(\displaystyle F(x) - F(0) = \lim_{n\to \infty} \frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n} \Bigl(\frac{it}{n}\Bigr)^2 = \lim_{n\to \infty} \frac{t^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = t^3 \lim_{n\to \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\) .
La definizione che penso tu abbia sentito è immagino una delle equivalenti definizioni dell'integrale di Riemann. Se una funzione è Riemann integrabile su un compatto è ovviamente possibile usare quella definizione per calcolare l'integrale (è quello che si fa quando si integra numericamente). Se il tuo scopo è usarlo in una dimostrazione allora devi tenere conto che il limite potrebbe non essere facilissimo da calcolare.
Nel caso di \(\displaystyle x^2 \) potresti partire da \(\displaystyle F(x) - F(0) = \int_{0}^x t^2\, dt \). A questo punti noti che, se tu prendi \(\displaystyle n \) punti equidistanti[nota]Consideri il punto finale degli intervalli che formano la partizione[/nota]) ha che \(\displaystyle F(x) - F(0) = \lim_{n\to \infty} \frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n} \Bigl(\frac{it}{n}\Bigr)^2 = \lim_{n\to \infty} \frac{t^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = t^3 \lim_{n\to \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\) .
Grazie molte.
Purtroppo non ero a conoscenza della sommatoria da i=0 a n di i, che però cercando su internet era abbastanza intuitiva né tanto meno della sommatoria da i=0 a n di i^2. Quest'ultima però non sembra affatto semplice da imparare intuitivamente. Sperando di non uscire fuori topic, potresti dirmi come facevi a sapere a cosa fosse uguale la sommatoria da i=0 a n di i^2? Ci sei arrivato oppure semplicemente ti ricordavi così e basta?
Grazie
Purtroppo non ero a conoscenza della sommatoria da i=0 a n di i, che però cercando su internet era abbastanza intuitiva né tanto meno della sommatoria da i=0 a n di i^2. Quest'ultima però non sembra affatto semplice da imparare intuitivamente. Sperando di non uscire fuori topic, potresti dirmi come facevi a sapere a cosa fosse uguale la sommatoria da i=0 a n di i^2? Ci sei arrivato oppure semplicemente ti ricordavi così e basta?
Grazie
Beh, sono sommatorie famose e ho cercato su wikipedia la formula. In realtà io ho scritto la formula nella forma meno facile da ricordare http://en.wikipedia.org/wiki/Square_pyramidal_number
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