Definizione insieme misurabile secondo Lesbegue

[melli13]

Buongiorno a tutti! Mi sta sorgendo un dubbio.
La mia definizione di insieme misurabile secondo Lesbegue è questa: $E sub RR^n$ si dice misurabile secondo L se $AA \epsilon>0 EE "aperto" A sub RR^n$,$ E sub A, "t.c." |A-E|_e<\epsilon$
Ma posso dimostrare che è equivalente a questa?
$E sub RR^n$ si dice misurabile secondo L se $AA \epsilon>0 EE "aperto" A sub RR^n$, $E sub A, "t.c." |A-E|_e<=\epsilon$
La dimostrazione di equivalenza delle due definizioni penso di esserla riuscita a fare, volevo solo una conferma!! Grazie mille

[Luca.Lussardi]

Che le due definizioni siano equivalenti e' una banalita' mi sembra, il fatto che quella sia una definizione di insieme Lebesgue misurabile e' un po' inusuale, di solito gli insiemi misurabili (quando hai a che fare con una misura esterna) sono quelli che "tagliano bene".

[melli13]

Una banalità addirittura? Che la prima implica la seconda è ovvia...mentre il viceversa non lo era per me! Grazie però!! Significa che la dimostrazione che ho fatto è giusta, anche se molto semplice
E come mai la mia definizione è inusuale? Quale sarebbe quella che conosci tu? Il significato della mia è proprio quello che hai detto no?
Grazie ancora!!!

[Luca.Lussardi]

Solitamente si dice che $E$ sottoinsieme di $\mathbb R^n$ e' misurabile secondo Lebesgue se per ogni $F$ sottoinsieme di $\mathbb R^n$ si ha che $|F|=|F\cap E|+|F\setminus E|$.

[melli13]

Ah grazie mille! Io questo lo chiamo teorema di Carathèodory

[Luca.Lussardi]

Si, se parti dagli spazi di misura e metti nella definizione di misura anche l'additivita' sulle unioni disgiunte allora dimostri che con quella definizione di $\sigma$-algebra hai una misura. In realta' in $\mathbb R^n$ basta molto meno, senza scomodare tutto l'apparato della teoria astratta della misura basta fare le misure esterne e far piovere dal cielo solo alcuni insiemi piu' belli di altri per i quali si fanno i conti.