Definizione informale diffeomorfismo et soci
Salve a tutti,
non so se potete aiutarmi ma ve lo chiedo lo stesso, sto cercando una definizione informale e quindi non rigorosa di cosa sia un diffeomorfismo, omomorfismo e omeomorfismo per poter associare un concetto ad una nozione astratta come quella indicata da wikipedia.
Grazie anticipatamente a tutti
f
non so se potete aiutarmi ma ve lo chiedo lo stesso, sto cercando una definizione informale e quindi non rigorosa di cosa sia un diffeomorfismo, omomorfismo e omeomorfismo per poter associare un concetto ad una nozione astratta come quella indicata da wikipedia.
Grazie anticipatamente a tutti
f
Risposte
I tre oggetti da te citati sono particolari funzioni tra insiemi su cui sono definite diverse "strutture", pertanto sono oggetti molto diversi.
a) Cominciamo dagli omomorfismi: questi sono delle applicazioni tra due strutture algebriche (aventi lo stesso numero di operazioni interne) che "conservano le operazioni".
Ad esempio consideriamo il caso degli spazi vettoriali: un omomorfismo tra spazi vettoriali è un'applicazione che conserva la somma di vettori ed il prodotto per uno scalare.
Ad esempio considera la funzione $phi:RR^2to RR^3$ definita come segue:
$AA (x,y)in RR^2, phi(x,y)=(x,2y,0) in RR^3 quad$:
questa è un omomorfismo perchè risulta: $AA (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x,y) in RR^2, AAalpha in RR$,
i) $quad phi((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=phi(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2y_1+2y_2,0)=(x_1,2y_1,0)+(x_2,2y_2,0)=phi(x_1,y_1)+phi(x_2,y_2) quad$ (quindi $phi$ conserva la somma)
ii) $quad phi(alpha*(x,y))=phi(alphax,alphay)=(alphax,2alphay,0)=alpha*(x,2y,0)=alpha*phi(x,y) quad$ (quindi $phi$ conserva il prodotto per lo scalare).
Gli omomorfismi biettivi (e cioè invertibili) sono detti isomorfismi: essi sono molto importanti nello studio delle proprietà generali delle strutture algebriche (ad esempio si dimostra che se due spazi vettoriali sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione).
b) Cosa del tutto diversa dagli omomorfismi sono i cosiddetti omeomorfismi: infatti questi ultimi sono particolari applicazioni tra spazi topologici.
Detta a grandi linee, la struttura di spazio topologico su un insieme ti consente di dire se due punti sono vicini o meno (anche se non sempre ti consente di quantificare la distanza tra quei due punti): gli omeomorfismi sono quelle particolari applicazioni invertibili tra spazi topologici che conservano, insieme con le loro inverse, la "vicinanza" tra i punti. Quando un'applicazione tra spazi topologici conserva la "vicinanza" dei punti, tale applicazione è detta continua: allora possiamo riformulare la definizione precedente dicendo che gli omeomorfismi sono funzioni invertibili, continue e dotate di inversa continua.
Ad esempio considera la funzione $f:[-pi/2,pi/2]to [-1,1]$ definita dall'assegnazione $f(x)=sinx$: come sai la funzione seno è continua (nel senso dell'Analisi che in questo caso coincide con quello della Topologia) ed invertibile in $[-pi/2,pi/2]$ e la sua inversa:
$f^(-1):[-1,1]to [-pi/2,pi/2],quad f^(-1)(y)=arcsiny$
è pure continua: ne viene che l'applicazione $f$ è un omeomorfismo tra gli intervalli $[-pi/2,pi/2]$ e $[-1,1]$.
Gli omeomorfismi sono per gli spazi topologici quello che gli isomorfismi sono per le struttura algebriche: si prova che se due spazi topologici sono omeomorfi, allora essi hanno le stessa proprietà topologiche (connessione, compattezza, numerabilità,...).
Ad esempio, i due intervalli omeomorfi dell'esempio precedente sono ambedue compatti (perchè chiusi e limitati) e connessi.
c) Ancora cosa differente sono i diffeomorfismi. Infatti essi vengono definiti in spazi dotati sia di una struttura vettoriale sia di una struttura topologica particolare, detta struttura metrica, la quale consente di quantificare le distanze tra i punti: in questi tipi di spazi, chiamati ovviamente spazi vettoriali metrici, è possibile definire una nozione di differenziabilità come si fa usualmente in $RR$ (mentre ciò non è possibile avendo solo la struttura vettoriale o solo la struttura metrica).
Si chiamano diffeomorfismi quelle applicazioni tra spazi vettoriali metrici che siano differenziabili, invertibili ed abbiano pure l'inversa differenziabile.
Ad esempio consideriamo l'applicazione $F:]-pi/2,pi/2[to ]-1,1[$ definita dall'assegnazione $F(x)=sinx$: essa è differenziabile, invertibile ed ha l'inversa $F^(-1):]-1,1[to ]-pi/2,pi/2[, quad F^(-1)(y)=arcsiny$ pure differenziabile, pertanto è un diffeomorfismo tra $]-pi/2,pi/2[$ e $]-1,1[$.
I diffeomorfismi sono usati per descrivere le proprietà di regolarità delle cosiddette varietà negli spazi vettoriali metrici: un esempio di varietà sono le curve o le superfici in $RR^3$; la parte della Matematica che studia questi oggetti è, per lo più, la Geometria Differenziale: potremmo dire che "diffeomorfismo sta a Geometria Differenziale come omeomorfismo sta a Topologia come isomorfismo sta ad Algebra".
a) Cominciamo dagli omomorfismi: questi sono delle applicazioni tra due strutture algebriche (aventi lo stesso numero di operazioni interne) che "conservano le operazioni".
Ad esempio consideriamo il caso degli spazi vettoriali: un omomorfismo tra spazi vettoriali è un'applicazione che conserva la somma di vettori ed il prodotto per uno scalare.
Ad esempio considera la funzione $phi:RR^2to RR^3$ definita come segue:
$AA (x,y)in RR^2, phi(x,y)=(x,2y,0) in RR^3 quad$:
questa è un omomorfismo perchè risulta: $AA (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x,y) in RR^2, AAalpha in RR$,
i) $quad phi((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=phi(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2y_1+2y_2,0)=(x_1,2y_1,0)+(x_2,2y_2,0)=phi(x_1,y_1)+phi(x_2,y_2) quad$ (quindi $phi$ conserva la somma)
ii) $quad phi(alpha*(x,y))=phi(alphax,alphay)=(alphax,2alphay,0)=alpha*(x,2y,0)=alpha*phi(x,y) quad$ (quindi $phi$ conserva il prodotto per lo scalare).
Gli omomorfismi biettivi (e cioè invertibili) sono detti isomorfismi: essi sono molto importanti nello studio delle proprietà generali delle strutture algebriche (ad esempio si dimostra che se due spazi vettoriali sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione).
b) Cosa del tutto diversa dagli omomorfismi sono i cosiddetti omeomorfismi: infatti questi ultimi sono particolari applicazioni tra spazi topologici.
Detta a grandi linee, la struttura di spazio topologico su un insieme ti consente di dire se due punti sono vicini o meno (anche se non sempre ti consente di quantificare la distanza tra quei due punti): gli omeomorfismi sono quelle particolari applicazioni invertibili tra spazi topologici che conservano, insieme con le loro inverse, la "vicinanza" tra i punti. Quando un'applicazione tra spazi topologici conserva la "vicinanza" dei punti, tale applicazione è detta continua: allora possiamo riformulare la definizione precedente dicendo che gli omeomorfismi sono funzioni invertibili, continue e dotate di inversa continua.
Ad esempio considera la funzione $f:[-pi/2,pi/2]to [-1,1]$ definita dall'assegnazione $f(x)=sinx$: come sai la funzione seno è continua (nel senso dell'Analisi che in questo caso coincide con quello della Topologia) ed invertibile in $[-pi/2,pi/2]$ e la sua inversa:
$f^(-1):[-1,1]to [-pi/2,pi/2],quad f^(-1)(y)=arcsiny$
è pure continua: ne viene che l'applicazione $f$ è un omeomorfismo tra gli intervalli $[-pi/2,pi/2]$ e $[-1,1]$.
Gli omeomorfismi sono per gli spazi topologici quello che gli isomorfismi sono per le struttura algebriche: si prova che se due spazi topologici sono omeomorfi, allora essi hanno le stessa proprietà topologiche (connessione, compattezza, numerabilità,...).
Ad esempio, i due intervalli omeomorfi dell'esempio precedente sono ambedue compatti (perchè chiusi e limitati) e connessi.
c) Ancora cosa differente sono i diffeomorfismi. Infatti essi vengono definiti in spazi dotati sia di una struttura vettoriale sia di una struttura topologica particolare, detta struttura metrica, la quale consente di quantificare le distanze tra i punti: in questi tipi di spazi, chiamati ovviamente spazi vettoriali metrici, è possibile definire una nozione di differenziabilità come si fa usualmente in $RR$ (mentre ciò non è possibile avendo solo la struttura vettoriale o solo la struttura metrica).
Si chiamano diffeomorfismi quelle applicazioni tra spazi vettoriali metrici che siano differenziabili, invertibili ed abbiano pure l'inversa differenziabile.
Ad esempio consideriamo l'applicazione $F:]-pi/2,pi/2[to ]-1,1[$ definita dall'assegnazione $F(x)=sinx$: essa è differenziabile, invertibile ed ha l'inversa $F^(-1):]-1,1[to ]-pi/2,pi/2[, quad F^(-1)(y)=arcsiny$ pure differenziabile, pertanto è un diffeomorfismo tra $]-pi/2,pi/2[$ e $]-1,1[$.
I diffeomorfismi sono usati per descrivere le proprietà di regolarità delle cosiddette varietà negli spazi vettoriali metrici: un esempio di varietà sono le curve o le superfici in $RR^3$; la parte della Matematica che studia questi oggetti è, per lo più, la Geometria Differenziale: potremmo dire che "diffeomorfismo sta a Geometria Differenziale come omeomorfismo sta a Topologia come isomorfismo sta ad Algebra".
Grazie 1000 ad entrambi per le ampie e dettagliate spiegazioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo