Definizione Differenziabilità
Il concetto di Differenziabilità mi ha confuso un po le idee,
so che una funzione $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b] in RR$ è derivabile nel punto $x_0 in [a,b]$, cioè esiste ed è finito il limite
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ che rappresenta la derivata, cioè il coefficente agolare della retta tangente al punto $x_0$
il concetto di differenziale, in qualche modo contraddice quanto scritto sopra perchè
so in teoria che $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$
trovo scritto nel mio libro di analisi(scritto da autori con la sindrome di Asperger):
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h-f'(x_0)=epsilon(h)$
quindi non vale più l'uguaglianza precedente, anche se $epsilon(h)$ è infinitesimo.
prima domanda, il concetto di differenziale è appunto il concetto $epsilon(h)=lim(RI)-f'(x)$?
due, posso comprendere la definizione di differenziabilità, conoscendo solo la definizione di derivata e di differenziale?
so che una funzione $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b] in RR$ è derivabile nel punto $x_0 in [a,b]$, cioè esiste ed è finito il limite
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ che rappresenta la derivata, cioè il coefficente agolare della retta tangente al punto $x_0$
il concetto di differenziale, in qualche modo contraddice quanto scritto sopra perchè
so in teoria che $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$
trovo scritto nel mio libro di analisi(scritto da autori con la sindrome di Asperger):
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h-f'(x_0)=epsilon(h)$
quindi non vale più l'uguaglianza precedente, anche se $epsilon(h)$ è infinitesimo.
prima domanda, il concetto di differenziale è appunto il concetto $epsilon(h)=lim(RI)-f'(x)$?
due, posso comprendere la definizione di differenziabilità, conoscendo solo la definizione di derivata e di differenziale?
Risposte
attento perchè secondo me confonde le scritture con gli o-piccolo (quell'epsilon altro non è che un o-piccolo, di fatto).
per intenderci, vale:
$lim_{h to 0} (f(x_0 + h) - f(x_0)) / h - f'(x_0) = 0$
questo si può anche scrivere come
$(f(x_0 + h) - f(x_0)) / h - f'(x_0) = o(h)$ per $h to 0$
non mi è chiaro se studi all'università oppure alle superiori, ad ogni modo i concetti di differenziabilità e derivabilità coincidono per funzioni di una variabile, mentre sono ben diversi per funzioni di 2 o più variabili.
per funzioni di una variabile, il differenziale è definito come $f'(x_0)dx$, e ti dà "con buona approssimazione" (cioè a meno di uno scarto molto piccolo) la differenza f(x+h) - f(x).
d'altra parte puoi interpretare l'incremento h come dx, per farti un'idea di quello che succede
per intenderci, vale:
$lim_{h to 0} (f(x_0 + h) - f(x_0)) / h - f'(x_0) = 0$
questo si può anche scrivere come
$(f(x_0 + h) - f(x_0)) / h - f'(x_0) = o(h)$ per $h to 0$
non mi è chiaro se studi all'università oppure alle superiori, ad ogni modo i concetti di differenziabilità e derivabilità coincidono per funzioni di una variabile, mentre sono ben diversi per funzioni di 2 o più variabili.
per funzioni di una variabile, il differenziale è definito come $f'(x_0)dx$, e ti dà "con buona approssimazione" (cioè a meno di uno scarto molto piccolo) la differenza f(x+h) - f(x).
d'altra parte puoi interpretare l'incremento h come dx, per farti un'idea di quello che succede
La definizione di differenziabilità che riporti non è esatta, o comunque è scritta male.
Una funzione [tex]$f$[/tex] si dice differenziabile in un punto [tex]$x_0$[/tex] interno al suo dominio se esiste un numero reale [tex]$L$[/tex] tale che:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Lh}{h}=0$[/tex]
ossia tale che:
[tex]$f(x)=f(x_0)+L(x-x_0) +\text{o}(x-x_0)$[/tex] per [tex]$x\approx x_0$[/tex].
Evidentemente se un tale [tex]$L$[/tex] esiste, allora [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] ed [tex]$L=f^\prime (x_0)$[/tex]; me è vero pure il viceversa, ossia se [tex]$f$[/tex] è derivabile allora [tex]$L=f^\prime (x_0)$[/tex] soddisfa la definizione precedente.
Una funzione [tex]$f$[/tex] si dice differenziabile in un punto [tex]$x_0$[/tex] interno al suo dominio se esiste un numero reale [tex]$L$[/tex] tale che:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Lh}{h}=0$[/tex]
ossia tale che:
[tex]$f(x)=f(x_0)+L(x-x_0) +\text{o}(x-x_0)$[/tex] per [tex]$x\approx x_0$[/tex].
Evidentemente se un tale [tex]$L$[/tex] esiste, allora [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] ed [tex]$L=f^\prime (x_0)$[/tex]; me è vero pure il viceversa, ossia se [tex]$f$[/tex] è derivabile allora [tex]$L=f^\prime (x_0)$[/tex] soddisfa la definizione precedente.
Non è la definizione di differenziabilità ma di differenziale.
che è appunto $df(x)=f'(x)*h$
il problema è come arrivo dalla definizione di differenziale alla definizione di differenziabilità?
che è appunto $df(x)=f'(x)*h$
il problema è come arrivo dalla definizione di differenziale alla definizione di differenziabilità?
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