Definizione di volume di solido di rotazione-Analisi 2
Salve a tutti 
qualcuno può darmi una definizione esaustiva di volume di solido di rotazione (non solo la formula) ??
grazie mille
qualcuno può darmi una definizione esaustiva di volume di solido di rotazione (non solo la formula) ??
grazie mille
Risposte
Il volume è semplicemente la misura (di Peano-Jordan o di Lebesgue) di un insieme misurabile di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]; non c'è una definizione di "volume di solido di rotazione", non servirebbe a nulla.
Che poi il volume dei solidi di rotazione si calcoli in certi modi è conseguenza di vari fatti (che so, teorema di Guldino, principio di Cavalieri, etc...)
Che poi il volume dei solidi di rotazione si calcoli in certi modi è conseguenza di vari fatti (che so, teorema di Guldino, principio di Cavalieri, etc...)
grazie gugo82 ... ecco intendevo dire il volume del solido i rotazione "secondo" Pappo-Guldno...
come si arriva a quella formula??
grazie..
come si arriva a quella formula??
grazie..
Allora vuoi sapere un teorema, non una definizione... C'è una grossa differenza, non credi?
Se mi scrivi l'enunciato (che la formula non la ricordo al momento) possiamo provare a vedere dove si mette mano per la dimostrazione.
Se mi scrivi l'enunciato (che la formula non la ricordo al momento) possiamo provare a vedere dove si mette mano per la dimostrazione.
hai ragione scusami mi sono espresso male...
allora il teorema di Pappo sul volume del solido di rotazione dice che:
il solido di rotazione $X$ ottenuto dalla rotazione intoeno ad una retta $R$ di un insieme piano $D$ compatto misurabile è anch'esso un insieme compatto misurabile e il suo volume è uguale al prodotto tra l'area di $D$ e la lunghezza della circonferenza descritta nella rotazione dal baricentro di $D$.
poi di anche che:
il volume di un solido di rotazione $X$ ottenuto dalla rotazione intorno all'asse $z$ del compatto $D$ incluso nel piano $x,z$ è
$vol(X)=2\pi\intint_D(xdxdz)$
allora il teorema di Pappo sul volume del solido di rotazione dice che:
il solido di rotazione $X$ ottenuto dalla rotazione intoeno ad una retta $R$ di un insieme piano $D$ compatto misurabile è anch'esso un insieme compatto misurabile e il suo volume è uguale al prodotto tra l'area di $D$ e la lunghezza della circonferenza descritta nella rotazione dal baricentro di $D$.
poi di anche che:
il volume di un solido di rotazione $X$ ottenuto dalla rotazione intorno all'asse $z$ del compatto $D$ incluso nel piano $x,z$ è
$vol(X)=2\pi\intint_D(xdxdz)$
a te interessa calcolare il volume di un solido, quindi dovresti usare un integrale triplo: $ int int int_S dx dy dz$
se ti porti in coordinate cilindriche, detto D l'insieme racchiuso nella curva di jordan del piano xz, ottieni:
$int_0^(2pi) int int_D rho d rho d z d theta = 2pi int int_D rho d rho d z $
ti faccio notare che $rho = x$
se ti porti in coordinate cilindriche, detto D l'insieme racchiuso nella curva di jordan del piano xz, ottieni:
$int_0^(2pi) int int_D rho d rho d z d theta = 2pi int int_D rho d rho d z $
ti faccio notare che $rho = x$
enr87 forse hai frainteso la mia richiesta..io intedevo avere qualche delucidazione teorica in merito al volume del solido di rotazione e a come si arriva alla formula... grazie comunque 
la dimostrazione che ti ho fatto è il "come si arriva alla formula" (e gugo82 aveva inteso la stessa cosa). poi non so che delucidazioni teoriche ti servano.
Insomma, basta passare a coordinate cilindriche, come ha detto prima di me enr87.
Metti [tex]$D$[/tex] nel piano [tex]$Oxz$[/tex] e supponi di volerlo far ruotare intorno intorno a [tex]$z$[/tex] (si può fare senza ledere la generalità) d'un angolo [tex]$\alpha$[/tex] in modo da ottenere il solido [tex]$E$[/tex].
A questo punto puoi passare a coordinate cilindriche nell'integrale che fornisce il volume di [tex]$E$[/tex], ossia [tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z$[/tex], ponendo:
[tex]$\begin{cases}
x=r\ \cos \theta\\
y=r\ \sin \theta\\
z=h
\end{cases}$[/tex];
tenendo presente che lo jacobiano del cambiamento di variabili è $\rho$ e che $\theta$ varia in $[0,\alpha]$, trovi:
[tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\int_0^\alpha \iint_{E_\theta} \rho \ \text{d} \theta\ \text{d}\rho \ \text{d} h =\alpha\ \iint_{E_\theta} \rho \ \text{d}\rho \ \text{d} h$[/tex]
ove, per ogni [tex]$\theta$[/tex], [tex]$E_\theta \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] è un appropriato insieme in cui scegliere [tex]$(\rho,h)$[/tex].
Ma com'è fatto [tex]$E_\theta$[/tex]? Per capirlo basta sapere come funzionano le coordinate cilindriche: infatti [tex]$E_\theta$[/tex] è la sezione del corpo di rotazione [tex]$E$[/tex] determinata dal piano passante per l'asse [tex]$z$[/tex] e formante un angolo [tex]$\theta$[/tex] col semiasse delle [tex]$x$[/tex] positive; quindi, visto che [tex]$E$[/tex] è un corpo di rotazione si ha [tex]$E_\theta = D$[/tex] (a meno di una rotazione). Ne viene:
[tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\alpha\ \iint_D \rho \ \text{d}\rho \ \text{d} h$[/tex]
e cambiando (come possibile fare perchè variabili mute) le variabili nell'ultimo integrale in [tex]$x$[/tex] e [tex]$z$[/tex] si ottiene:
(*) [tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\alpha\ \iint_D x\ \text{d}x \ \text{d} z$[/tex]
che è l'ultima formula che chiedevi se prendi [tex]$\alpha =2\pi$[/tex] (caso della rotazione completa intorno a [tex]$z$[/tex]).
Da questa, moltiplicando e dividendo per [tex]$\text{area}(D)$[/tex], tenendo presente che la prima coordinata del bericentro di [tex]$D$[/tex] è data da:
[tex]$x^\star = \frac{1}{\text{area} (D)}\ \iint_D x\ \text{d}x \ \text{d} z$[/tex]
e ricordando che la lunghezza dell'arco d'ampiezza [tex]$\alpha$[/tex] descritto sulla circonferenza di raggio [tex]$x^\star$[/tex] è [tex]$\alpha\ x^\star$[/tex], si ottiene il teorema di Guldino per un angolo [tex]$\alpha\in [0,2\pi]$[/tex] qualunque; in particolare hai la formula di Pappo-Guldino per [tex]$\alpha =2\pi$[/tex].
Metti [tex]$D$[/tex] nel piano [tex]$Oxz$[/tex] e supponi di volerlo far ruotare intorno intorno a [tex]$z$[/tex] (si può fare senza ledere la generalità) d'un angolo [tex]$\alpha$[/tex] in modo da ottenere il solido [tex]$E$[/tex].
A questo punto puoi passare a coordinate cilindriche nell'integrale che fornisce il volume di [tex]$E$[/tex], ossia [tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z$[/tex], ponendo:
[tex]$\begin{cases}
x=r\ \cos \theta\\
y=r\ \sin \theta\\
z=h
\end{cases}$[/tex];
tenendo presente che lo jacobiano del cambiamento di variabili è $\rho$ e che $\theta$ varia in $[0,\alpha]$, trovi:
[tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\int_0^\alpha \iint_{E_\theta} \rho \ \text{d} \theta\ \text{d}\rho \ \text{d} h =\alpha\ \iint_{E_\theta} \rho \ \text{d}\rho \ \text{d} h$[/tex]
ove, per ogni [tex]$\theta$[/tex], [tex]$E_\theta \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] è un appropriato insieme in cui scegliere [tex]$(\rho,h)$[/tex].
Ma com'è fatto [tex]$E_\theta$[/tex]? Per capirlo basta sapere come funzionano le coordinate cilindriche: infatti [tex]$E_\theta$[/tex] è la sezione del corpo di rotazione [tex]$E$[/tex] determinata dal piano passante per l'asse [tex]$z$[/tex] e formante un angolo [tex]$\theta$[/tex] col semiasse delle [tex]$x$[/tex] positive; quindi, visto che [tex]$E$[/tex] è un corpo di rotazione si ha [tex]$E_\theta = D$[/tex] (a meno di una rotazione). Ne viene:
[tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\alpha\ \iint_D \rho \ \text{d}\rho \ \text{d} h$[/tex]
e cambiando (come possibile fare perchè variabili mute) le variabili nell'ultimo integrale in [tex]$x$[/tex] e [tex]$z$[/tex] si ottiene:
(*) [tex]$\iiint_E\ \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z =\alpha\ \iint_D x\ \text{d}x \ \text{d} z$[/tex]
che è l'ultima formula che chiedevi se prendi [tex]$\alpha =2\pi$[/tex] (caso della rotazione completa intorno a [tex]$z$[/tex]).
Da questa, moltiplicando e dividendo per [tex]$\text{area}(D)$[/tex], tenendo presente che la prima coordinata del bericentro di [tex]$D$[/tex] è data da:
[tex]$x^\star = \frac{1}{\text{area} (D)}\ \iint_D x\ \text{d}x \ \text{d} z$[/tex]
e ricordando che la lunghezza dell'arco d'ampiezza [tex]$\alpha$[/tex] descritto sulla circonferenza di raggio [tex]$x^\star$[/tex] è [tex]$\alpha\ x^\star$[/tex], si ottiene il teorema di Guldino per un angolo [tex]$\alpha\in [0,2\pi]$[/tex] qualunque; in particolare hai la formula di Pappo-Guldino per [tex]$\alpha =2\pi$[/tex].
grazie mille gugo82 e anche enr87 ... ho capito come si arriva a quella formula..
grazie ancora
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