Definizione di tempo di arresto
Il mio testo definisce tempo di arresto una v.a. $\tau:\Omega->[0,T]$ se e solo se ${\tau(\omega)<=t}\in \zeta _t$. Ora la domanda è: come interpretare questa definizione? Se
- $\zeta _t$ sono le informazioni che ho in $t$ (oggi)
- $\tau$ è l'istante in cui decido di interrompere il processo (la cui decisione dipende dalle info che ho in $t$),
come posso interrompere un processo in un istante precedente ad oggi? Voglio dire, l'istante $\tau$ è ormai passato...
- $\zeta _t$ sono le informazioni che ho in $t$ (oggi)
- $\tau$ è l'istante in cui decido di interrompere il processo (la cui decisione dipende dalle info che ho in $t$),
come posso interrompere un processo in un istante precedente ad oggi? Voglio dire, l'istante $\tau$ è ormai passato...
Risposte
la filtrazione, nel tuo caso quindi $\zeta_t$, indica le informazioni fino al tempo t e quindi comprendono anche i tempi precedenti.
PS: secondo me è più una domanda da statistica e probabilità piuttosto che di analisi.
PS: secondo me è più una domanda da statistica e probabilità piuttosto che di analisi.
perciò la filtrazione comprenderebbe anche informazioni future... così avrebbe un senso, perché disponendo di informazioni fino all'istante $t$ posso decidere se conviene interrompere il processo all'istante $\tau<=t$.
Ma allora non capisco... Il testo dice, cito, che "intuitivamente, si può pensare ad un tempo d'arresto come ad un istante in cui si prende una decisione relativa ad un fenomeno aleatorio. Il vincolo è che tale decisione deve dipendere solo dalle informazioni disponibili al momento". Quindi se il momento è $t$, e se vale $\tau<=t$, allora $\tau$ è già passato e non posso più interrompere il processo (cioè non posso agire retroattivamente).
Spero di essermi spiegato
Ma allora non capisco... Il testo dice, cito, che "intuitivamente, si può pensare ad un tempo d'arresto come ad un istante in cui si prende una decisione relativa ad un fenomeno aleatorio. Il vincolo è che tale decisione deve dipendere solo dalle informazioni disponibili al momento". Quindi se il momento è $t$, e se vale $\tau<=t$, allora $\tau$ è già passato e non posso più interrompere il processo (cioè non posso agire retroattivamente).
Spero di essermi spiegato
"mobley":
perciò la filtrazione comprenderebbe anche informazioni future... così avrebbe un senso, perché disponendo di informazioni fino all'istante t posso decidere se conviene interrompere il processo all'istante τ≤t.
l'esatto opposto n realtà: la filtrazione contiene le informazioni passate. In pratica accumuli nella filtrazione tutta l'informazione dal tempo 0 al tempo attuale t.
$\tau$ è un tempo casuale che non sappiamo quando accade: può essere prima, dopo o può essere esattamente t. Perchè $\tau$ possa dirsi tempo di arresto non basta che sia un tempo casuale ma devo poter decidere se è accaduto prima di t, con l'informazione che ho accumulato fino ad oggi (cioè fino a t). Se questo posso farlo, bene, allora è tempo di arresto, se questo non è possibile perchè mi serve per esempio delle conoscenze riguardo al tempo $t+1$, allora quello non è un tempo di arresto.
"cooper":
PS: secondo me è più una domanda da statistica e probabilità piuttosto che di analisi.
[ot]Hai ragione ma in statistica mi sarebbe sfuggita, quindi sono contento che sia finita in analisi. Hai scritto una risposta interessante, grazie. Queste cose si usano pure in analisi, e.g. https://www.springer.com/gb/book/9780387943879[/ot]
[ot]Sono contento possa essere utile, grazie a te per l'apprezzamento. In effetti l'utilizzo della probabilità per risolvere problemi di analisi l'avevo già incontrato nello studio per esempio di SDE e PDE, legate dalla formula di Feynman-Kac oppure nel legame tra martingale e funzioni armoniche. Però non pensavo ci si fosse spinti tanto in là come sembra essere invece stato fatto nel libro. Sembra molto interessante, magari quando ho un po' di tempo gli do volentieri un'occhiata[/ot]
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