Definizione di superficie
Ciao a tutti. Sto studiando per l'esame orale di analisi due. Stavo studiando la definizione di superficie però non ho capito una cosa. Quando dice che l'applicazione $ gamma:D -> RR $ deve verificare la seguente condizione:"la restrizione di $ gamma:D -> RR $ nei punti interni a D è invertibile" che significa?
Vi ringrazio in anticipo...
Vi ringrazio in anticipo...
Risposte
Definito [tex]$D^{int}$[/tex] l'insieme dei punti interni a [tex]$D$[/tex], significa che [tex]$\exists\delta:\gamma(D^{int})\to D^{int}\mid\forall x\in D^{int},\,\delta(\gamma(x))=x;\,\forall y\in\gamma(D^{int}),\,\delta(\gamma(y))=y$[/tex].
Ad occhio e croce vuol dire che [tex]$\gamma|_{D^\circ}$[/tex] è invertibile tra [tex]$D^\circ$[/tex] e [tex]$\gamma (D^\circ ) \subseteq \mathbb{R}^3$[/tex].
In altre parole, gli unici punti che possono essere mappati da [tex]$\gamma$[/tex] gli uni sugli altri fanno parte del bordo di [tex]$D$[/tex].
Ad esempio, considera la superficie:
[tex]$\gamma (\theta ,\phi ):=(\cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi)$[/tex]
definita sul dominio base [tex]$D=[0,2\pi]\times [0,\pi]$[/tex]. L'immagine [tex]$\gamma (D)$[/tex] è la sfera unitaria di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], ossia [tex]$S:=\gamma (D)=\{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1\}$[/tex].
Si vede con un po' di conti che [tex]$\gamma|_{D^\circ}$[/tex] (ovviamente [tex]$D^\circ =]0,2\pi [\times ]0,\pi[$[/tex]) è invertibile tra [tex]$D^\circ$[/tex] e [tex]$\gamma (D^\circ)$[/tex] ([tex]$=S\setminus \{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1, z=0, x\geq 0 \}$[/tex]).
Nota che tutti i punti di [tex]$\partial D$[/tex] sono mappati su [tex]$\{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1, z=0, x\geq 0 \}$[/tex] e che le immagini di alcune coppie di punti distinti coincidono: pertanto non c'è possibilità d'inversione globale della [tex]$\gamma$[/tex], ossia non è possibile determinare una [tex]$\gamma^{-1}:S\to D$[/tex].
In altre parole, gli unici punti che possono essere mappati da [tex]$\gamma$[/tex] gli uni sugli altri fanno parte del bordo di [tex]$D$[/tex].
Ad esempio, considera la superficie:
[tex]$\gamma (\theta ,\phi ):=(\cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi)$[/tex]
definita sul dominio base [tex]$D=[0,2\pi]\times [0,\pi]$[/tex]. L'immagine [tex]$\gamma (D)$[/tex] è la sfera unitaria di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], ossia [tex]$S:=\gamma (D)=\{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1\}$[/tex].
Si vede con un po' di conti che [tex]$\gamma|_{D^\circ}$[/tex] (ovviamente [tex]$D^\circ =]0,2\pi [\times ]0,\pi[$[/tex]) è invertibile tra [tex]$D^\circ$[/tex] e [tex]$\gamma (D^\circ)$[/tex] ([tex]$=S\setminus \{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1, z=0, x\geq 0 \}$[/tex]).
Nota che tutti i punti di [tex]$\partial D$[/tex] sono mappati su [tex]$\{ (x,y,z):\ x^2+y^2+z^2=1, z=0, x\geq 0 \}$[/tex] e che le immagini di alcune coppie di punti distinti coincidono: pertanto non c'è possibilità d'inversione globale della [tex]$\gamma$[/tex], ossia non è possibile determinare una [tex]$\gamma^{-1}:S\to D$[/tex].
Si ora l'ho capito... Vi ringrazio..
Prego, di nulla!
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