Definizione di successione di funzioni
è corretta questa definizione?
una successione di funzioni è una funzione da $NN$ a un insieme di funzioni (questo codominio, essendo costituito da funzioni, dovrebbe essere uno "spazio funzionale", ma l'analisi funzionale va oltre le mie conoscenze).
Gli elementi del codominio sono del tipo $f_k : RR \to RR$ (in più variabili invece $f_k : RR^m \to RR^n$; $m,n \in NN^+$)
sul Canuto Tabacci mi pare d'aver letto la successione di funzioni venire definita non come una funzione, ma come una famiglia di funzioni del tipo $f_k : RR \to RR$, tra loro distinte dal parametro $k \in NN$ (famiglia è sinonimo di insieme?)
ho letto che si può anche definire la successione di funzioni come una funzione in due variabili $f_k : (NN,RR) \to RR$
credo d'aver relativamente chiaro cosa è una successione di funzione per via intuitiva, ma ho difficoltà a definirla rigorosamente
una successione di funzioni è una funzione da $NN$ a un insieme di funzioni (questo codominio, essendo costituito da funzioni, dovrebbe essere uno "spazio funzionale", ma l'analisi funzionale va oltre le mie conoscenze).
Gli elementi del codominio sono del tipo $f_k : RR \to RR$ (in più variabili invece $f_k : RR^m \to RR^n$; $m,n \in NN^+$)
sul Canuto Tabacci mi pare d'aver letto la successione di funzioni venire definita non come una funzione, ma come una famiglia di funzioni del tipo $f_k : RR \to RR$, tra loro distinte dal parametro $k \in NN$ (famiglia è sinonimo di insieme?)
ho letto che si può anche definire la successione di funzioni come una funzione in due variabili $f_k : (NN,RR) \to RR$
credo d'aver relativamente chiaro cosa è una successione di funzione per via intuitiva, ma ho difficoltà a definirla rigorosamente
Risposte
Non c'è nessuna differenza tra i seguenti oggetti:
- una famiglia di funzioni $\{f_i : X\to Y\}$ indicizzate da un insieme $I$ (diciamo $\mathfrak F$ l'insieme di tutte tali famiglie);
- una funzione da $I$ all'insieme delle funzioni $\{f : X\to Y\}$ (diciamo $\mathfrak E$ l'insieme di tutte tali funzioni).
E' un esercizio istruttivo trovare esplicitamente la biiezione (e dimostrare che lo è) tra $\mathfrak E$ e $\mathfrak F$.
- una famiglia di funzioni $\{f_i : X\to Y\}$ indicizzate da un insieme $I$ (diciamo $\mathfrak F$ l'insieme di tutte tali famiglie);
- una funzione da $I$ all'insieme delle funzioni $\{f : X\to Y\}$ (diciamo $\mathfrak E$ l'insieme di tutte tali funzioni).
E' un esercizio istruttivo trovare esplicitamente la biiezione (e dimostrare che lo è) tra $\mathfrak E$ e $\mathfrak F$.
Se le cui vedere in maniera formale è quesi come dici.
In altri termini, una successione di funzioni $(f_n)$ definite in uno stesso insieme $X$ ed a valori nello stesso insieme $Y$ è un’applicazione di $NN$ in $Y^X$ (ricorda che l’insieme $Y^X$ è quello che ha per elementi le funzioni di $X$ in $Y$).
In altri termini, una successione di funzioni $(f_n)$ definite in uno stesso insieme $X$ ed a valori nello stesso insieme $Y$ è un’applicazione di $NN$ in $Y^X$ (ricorda che l’insieme $Y^X$ è quello che ha per elementi le funzioni di $X$ in $Y$).
"gugo82":
Se le cui vedere in maniera formale è quesi come dici.
In altri termini, una successione di funzioni $(f_n)$ definite in uno stesso insieme $X$ ed a valori nello stesso insieme $Y$ è un’applicazione di $NN$ in $Y^X$ (ricorda che l’insieme $Y^X$ è quello che ha per elementi le funzioni di $X$ in $Y$).
Ammetti che sono stato bravo a non dire mai "\(\bf Set\) è una categoria cartesiana chiusa".
grazie per le risposte
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